DÉS

2) Cf. la remarque 2) à la p. 16.

OLOF SJÜSTRAND

Nous pouvons donc passer à la limite selon M. HADAMARD à la seule condition que le nombre #, dans (16) soit plus grand que © — 1 (ce qui se trouve toujours rempli pour © — 1). Cette condition qui est d’une allure très générale et qui ne comporte pas l'exigence de continuité chez les dérivées de la solutiont), est pourtant très restrictive?) si les données.

aux limites sont de la forme (2).

Nous sommes donc arrivés à la solution (22) de M. HADAMARD pour les trois cas B (avec la restriction faite ci- dessus)#)}, À et C

1 k 2) rs lin LE CE ant À EE Cu dos + bee VU RED h'=0 Ame De | HE TEA AT RS

Pour les cas À et € on peut, selon M. HADAMARD!), immédiatement transformer cette solution à une forme dont tous les termes ont un sens. Pour le cas B ces termes ne sont pas convergents. Il faut procéder autrement.

15. Maintenant se pose la question comment pour le cas B on pourra se délivrer de la condition uw, > {2 — 1. Nous posons

(®.e) ©) RE D > (23) 2=2:2+22,+2È22,, - n=0 n!'=0

où z est la solution de (1), qui est toujours f (o) sur BAC; z, celle qui est f(x,) —f(x,.;) HA Cretmutle sur ABrz cellquiet (ver (v sur AB'ettmulle sur ACNToutes ces solutions existent et s’obtiennent sous la forme (22), parce que 1, pour z est @ +1, et w, pour z, et z,, est 9 +o, et © +0, respectivement, où op, et 0, < 1°). Car on a sous les suppositions (2) et (13)

FO) —f () = 204 D (x),

où ® (x) est une fonction continue pour x > 0.

Maintenant il s’agit de rechercher si la série (23) est convergente. Nous savonsf) que

1) Au contraire, le passage à la limite réussit toujours quand les dérivées sont continues (cf. la remarque 1)

à la p.12).

2) Flle n’est pas remplie si f (x) — f (0) — x; g (y) = & (0) + y et 9 > 2, car on aura g (y) — f (ue (y)) = y + no (y) = yG (y); 1H) —g( (x) =—x—À (x) =xF,(x). Le passage à la limite n'est pas toujours

dz réalisable même sous la supposition que f (x) et g (y) soient données de telle façon que Fe a une seule valeur S finie dans la direction commune des tangentes à l’origine (condition moins restrictive que (2)). 8) Bien entendu, on peut passer à la limite sans se servir des formules (21). Dans ce cas il s’agit de

démontrer que f U dz — 0, ce qui réussit si «, > 9. ï D Rn229) 5) Cf. la remarque 2) à la p. 16.