CE 1 CE) LE

La méthode d'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles due à Laplace introduit dans la théorie deux fonctions L et Æ jouissant de certaines propriétés d’invariance (‘},

Rae, k= D + abc.

C’est ainsi qu'un changement de fonction II = AIT transformera notre équation du second ordre en une équation de même forme

D ne le > dx dy . dx dy MU ou log À D Te ; PE 0 log À * => dx ?

CES d log dlogh 1 d°À ec h CRrr oi 0Y TX 0xdy

et qui admet les mêmes invariants X et k.

0 db : è : ; :

Dans le cas où 7 — ©, les deux invariants sont égaux et l'équation peut se dx 0y (e)

ramener à une forme canonique particulièrement simple. Or, c’est le cas de l'équation à laquelle satisfait IT. Des valeurs écrites pour a et b on déduit, en effet,

0a s 0 a2zy(+az)(t— 2) dx dy [27 (1 +x)/*

(1) DarBoux, Théorie des surfaces, t. Il, Liv. IV, Chap. I.

16 SUR LES COEFFICIENTS Opérons donc le changement de fonction

À étant une fonction de x et de y définie par les deux expressions compatibles

DA CA Lo) La condition 0 logÀ yUu+ zx) a — dy a— y?(1+ 2°)?

donne o(x)

= = — 7 , Va— p(1+ x)

o(x) élant une fonction de x définie par

0 log À

| Le = — b, c'est-à-dire DC TR IE Sr æ(1— x?) o(x) Z— y(1+ x!) IT ge L G+a)[z—y(+zx)]

ce qui donne

el, par suile,

C étant une constante numérique.

La fonction nouvelle Il et l’ancienne IT satisferont donc à la relation

(9) H=C(+a)fa— pie) ] 21 Des propriétés d’invariance de k et du fait que a’ et D’ sont nuls on conclut

que CT

DU DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 17 Or

LE + (ab—c),

ce qui fournit, pour la valeur de k,

Fe æY (+2) (1?) LG +) (1— 2?)

[xz?— 7° (1+x°

alerte) pe —y(+et}]}

L’équation différentielle du second ordre à laquelle satisfait la fonction Il S’écrit en somme

(6) ACT N 2 Apr) (er) Biz) )] I'oxdy [zx—y'(i+aæÿF ‘ PER P CEE

Nous allons rechercher une solution particulière de cette équation (6) de la forme e“, ce qui exigera que

du du du

OxÔoy 0& O0

On remarque que L est une somme de deux termes, dont chacun peut être considéré comme une dérivée seconde, prise par rapport à x et à y, de fonctions que deux quadratures très simples détermineront. æy(1 + d°)(1— x?) [= 20 = æ?)?]?

par rapport à x el par rapport à y, de

À un facteur numérique près, est la dérivée seconde, prise

Vz?— (1 + æ?)?

rapport à y, de

et est la dérivée seconde, prise par rapport à x et par