PURÉE) EE 2 FH

Ces deux fonctions logarithmiques ont pour dérivées premières, prises par

Le à

rapport à æ, puis par rapport à y, les valeurs suivantes :

0 FLE 1) Eæ + 27 (1— x?) 0x sy —+- 1) — 1; Ge ai y? (tee POL

0] I (1+ x?) 2e æ(1— x?) de Jepores Vra)le-ÿG+#)] RSA nel AU ONE

dy J(a +1) —x — = yGi+æ)

0 Il (1+ x?) AC En a)

y Ve G+ap ns Nm

Et l’on voit, par suite, que, si l'on donne à & la valeur

ni) 2 1 + x?

(Cr nET 4 DIT ni 4 Væ FEES 2°)

C, et C, étant deux constantes à déterminer, chacun des termes du produit

du ou

on qui devient

HAS Aa Le ve C {G—ax?)[x?+y(i+zx)] La? — y?(x?+ 1) pi PERTE AI :

— (4Ci + Ci)

a même forme que les deux expressions qui figurent dans . Üne solution particulière de l’équation (6) est donc e“, u étant la fonction

que nous venons de déterminer.

Une identification donne les valeurs des deux constantes C, et C,. On obtüent

4C?+C +20 —— A, 2C(1+C)=—B ou 4 CG; Co + 4C,=— 2B.

En additionnant et rétranchant ces équations membre à membre, on a le système équivalent (20+C}+2(2C+ CG) +(2B+A)—0o, (20 0)-2(20 CG) GBA)

ce qui donne, en tenant compte des valeurs de A et de B,

{20 -ECG——1#029,

20—G= 1+02yp.

On à de la sorte quatre systèmes de valeurs pour C, et C,, ce qui fournit au

tant de solutions particulières pour l'équation (6); nous adopterons l’un quelconque de ces quatre systèmes.

Cette équation (6) a ses termes indépendants de s; pet g y figurent élevés au carré, Ce qui était à prévoir, puisque le coefficient IE, et par suite IF, conserve la même valeur, quand on intervertit » et n :

11 LS —= T° me

Elle est de la forme des équations dites équations de Moutard, dont ce

géomètre à fait l'étude dans le XLV® Cahier du Journal de l'École Polytechnique. La méthode de Moutard repose sur un théorème que nous allons rappeler (*).

Soit l'équation oz

p: Ne)

ic 2z 3 0x dy

culière © de l'équation, en sorte que

Posant $(z) — » Supposons que nous Connaissions une solution parti-

ir %P@ 0 0 en

On peut alors écrire

o( oz Fe ER CLÉ SRE Ge DM NPC ( 93 do x \Oxoy ‘‘)] —"oxoy ‘ox0y 20æ\°0y dy

Et l'équation proposée est équivalente à la suivante :

ont mc) 4 0 0z :D)=0 az (Car dy Dome Com) à

93 06) A) DIA) (LE) dx CRE

est la différentielle exacte d’une certaine fonction 0(xy).

qui exprime que

On peut donc à chaque solution 3 associer une fonction 0, telle que l’on ait

00 03 du) 09 Oz O6) OC = @ msn

0x dx dx

La fonction 0 satisfait à une équation différentielle du second ordre, obtenue

(1) Cf. DarBoux, loc. cit,

en éliminant z entre les deux relations précédentes, qui peuvent s’écrire

1 D (E nn p():

w 0æ 0x \w)’ D OYy ON EE

0 x 00 Ge À )=e 0Y (& dx 9% Fe Ni

90 dw 09 do RE °Gxdy dy0x 00 :

par suite,

ou bien

Or, si l'on opère le changement de fonction

l'équation en 5 devient

Et M. Darboux détermine & sans calcul, par cette remarque que, l'équation

L'équation en 5 s'écrit donc

et l’on à pour valeur de 5, exprimée en fonction de z,

0 I Gi) PE z 4 == | wo? — 2 42 — w - ) dy{; o 0x \w, dy \o 1 réciproquement z s'exprime en fonction de &

\ ; B— o Ê Eee D (wo) on ;

ou? 0x

Le théorème suivant est donc établi :

À toute solution w de l'équation

on sal faire correspondre par une simple quadrature une solution de l’'équa-

tion

La connaissance de l'intégrale générale de l’une des équations permet de déterminer l'intégrale générale de l’autre équation. Il y à évidemment réciprocité entre les deux équations.

Appliquons donc à notre équation (6)

IL 0x0

la transformation de Moutard, la solution particulière servant à la transformation étant la fonction e“ que nous avons déterminée précédemment.

On obtiendra l'équation Foi 27 IJ Oxdy

et l’on à vu que la valeur du second membre est

où

CPE En HG EN = Va?— y°(1+ x?)

Sue OUIOU RS PU : (=) — dæ dy 0xdy

ce qui donne; d’après les valeurs écrites précédemment pour les dérivées par-