GE T' 0X 0Y CIO EN) AR ICE

Ce même changement de variable (15) eût d’ailleurs transformé l'équation (11)

en la suivante :

F0 Ter I ï | OX OV ON ENT Or (NR NE

Ce sont les équations (14) et (16) que nous allons étudier dans la suite, et dont nous lirerons parti pour déterminer, par la méthode d'intégration de Riemann, les coefficients du développement de la fonction perturbatrice.

TROISIENE PARTIE.

ES

Nous allons rappeler les principes de la méthode d'intégration des équations aux dérivées partielles, due à Riemann, en les restreignant au cas particulier qui nous intéresse.

Soit le polynome différentiel (!)

——— x a — + b— + ez, dc 0 0x dy

où 3 est une fonction de x et de y. Désignons par & une deuxième fonction des mêmes variables. On peut alors au polynome #(2) adjoindre un polynome G(u)

tel que l’on ait

HE AAC ME ON (1) HAUT Cela résulte, en effet, des identités D AUX, 0 nn: 0 Ôz so) du x OY 2 rl OV RO, > Fra 0x 0x) : 0x0y aa = L (aus) ra el A -.

u dy dy = = Il s'ensuit que Œu d 0 ( TE nt D :

G(u) A0. ta) TA u) + cu ou Q(u) du du du. : da Je io 0x d)} dc dy. GEI el que Ë M aus à 2 (a — 2 } js (44 dv. "dy , (2) ON PURE )z ne) he 2 |“ ox © dæ,

(:) DarBoux. héorie des surfaces, Livre IV, Chap. IV.

>6 L'équation G(u)= o est dite l'équation adjointe de f(z) = 0. On démontre

que (3) est à son tour le polÿnome adjoint de G(w).

Dans le cas où a — b — 0, qui sera celui que nous aurons à envisager, l’équalion proposée est identique à son adjointe.

Soit, dans le plan des xy, (A) une aire simplement connexe limitée par un

contour (C).

On aura 5 14 UN OM. ON\ :

in uF(z) — zG(u)] dx dy =) ( Le Sn dx dy.

Cette intégrale double pourra être remplacée par l'intégrale simple

(Mdy — N dx)

orCN

étendue au contour (C) pris dans le sens direct; cela suppose seulement que M el N ainsi que leurs dérivées premières sont finies et continues dans Paire CAN C’est l'équation TUE (us) 6 (u)] dx dy — [ M dy —N dx (A) v(C) dont Riemann fait usage.

S1 3 et w sont respectivement solution de f(z) = 0, G(u) = 0, l'égalité précédente devient Î May —N dx = 0.

Si l’on adopte pour (C) un contour tel que ACBA (fig. 1) formé de deux

Fig

parallèles aux axes issues d’un point A et limitées à une portion de courbe CB, on aura, moyennant les hypothèses de continuité indiquées,

6 B A [ May + Gay Na) f Ne A C B

Et, si l’on ent compte des valeurs écrites pour M ct N, un calcul simple montre que

5 me) (6) CHA) qe lÉE CR [ M dy —Ndx 3 "h A8 0 | | (TS — bu) la — | (a Ds au) dy, VA 0x VA 0

où les notations (uz),, (us), (us), désignent les valeurs que prend le pro-

duit #3 aux points À, B, C.

Si l’on choisit une solution de l'équation adjointe G(&) satisfaisant à

du SE RS DU 0 le long de AB, ou — — AU — O0 le long de AC, oY on aura (uz)p+(uz)e .

bar ë À CE (M dy —Ndc),

ce qui déterminera la solution : de l'équation aux dérivées partielles $(3) = o prenant des valeurs données, ainsi qu'une de ses dérivées premières le long d'une courbe donnée.

Si la courbe donnée est formée de deux portions de caractéristiques ( fig. 2),

Fig. 2.

8’ A B COuC D

la connaissance de la seule fonction z le long de la courbe suflit à déterminer la solution :

L'intégrale

(Mdy—Ndx)

,D AE 1 Nr [ M dy, G 1

devient

et l'on vérifie que l'expression (3) se transforme en la suivante : D : Fe À 0e { en dos | Wie — DES Ga (4) Hotte) [ + ( dx f } il (S ) ;

Nous avons déjà énoncé le résultat suivant dù à M. Poincare : si, pour une valeur déterminée de z et de , on connait les valeurs numériques de quatre coefficients du développement de la fonction perturbatrice, les valeurs numériques de tous les autres coefficients s’exprimeront en fonction linéaire des quatre premiers, les facteurs qui les multiplient étant des fonctions ralionnelles de x et tv.

Mais plaçons-nous dans l'hypothèse suivante : nous connaissons effectivement les valeurs des coefficients pour une valeur numérique déterminée de à, iis restent donc fonctions de uw, et, d’autre part, nous les connaissons aussi pour une valeur numérique délerminée deu, lavalenron— 2 qui fournit la caractéristique YŸ —0o; ils restent alors fonctions de x. La méthode de Riemann va nous permettre de les déterminer pour des valeurs numériques quelconques de x et de u.

Considérons donc tout d'abord l'équation qui correspond au cocfficient H,,. Nous avons vu précédemment qu'elle se ramenait à la forme

. 1 I [ I ‘a OX ON GUN La fonction auxiliaire &, qu'on peut appeler fonction de Riemann, doit satis-

faire ici aux conditions

du

IX =° lc long de AB, Ju -

it le long de AC.

Si nous désignons par X,, Y, les coordonnées du point A, nous sommes donc ramenés à trouver une solution de l'équation (5) (puisqu'elle est identique à son adjointe) dépendant des deux paramètres X, et Y, et se réduisant, pour X=X, et pour Y — Y,, à une constante qu'on peut supposer égale à l’unité.

L'équation (5) est de la forme connue

d?z B(1—8) ; er CE aan

ex | =

Le changement de fonction '—(X—Y)

DU DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE. 29 ramène alors l'équation (5) à la forme

dE L 09 1 09 OO NE V0 (XV) 0Y

C'est l'équation désignée sous le nom d'équation d’Euler et de Poisson, par M. Darboux (!)} et à laquelle Riemann a appliqué sa méthode.

Le succès de la méthode repose sur les considérations suivantes :

1° Les intégrales particulières homogènes de (6) sont obtenues en posant

- US XXe Ut),

et lon trouve que 2 doit satisfaire à l'équation F Ce Pet ar À tit) ot) + = on t\o'(é)+ =o(t)— 0.

C'est la célèbre équation de Gauss à laquelle satisfait la série hypergéomé-

trique

Fém7 L) en prenant par exemple

On a donc pour l'équation en Ÿ la solution particulière

Eten Seti Si \?

PSE) 7 be À, <)-

2° Cette solution ne dépend que d'un paramètre À. On en introduit deux, grâce à un résultat dù à M. Darboux, et étendu par M. Appell à des équations un peu plus générales que l'équation (6) et qui est le suivant :

De toute solution Ü(X, Y) de l'équation (6) on peut déduire la solution plus générale

£3 es Fay +0) #0 (

NES cX+d c\ 5):

EX D AN +0 a, b, c, d désignant des constantes quelconques. En opérant alors la substitution