PE. ART XX. EAN

(1) Voir Z'héorie des surfaces, Livre IV, Chap. HE.

50 SUR LES COEFFICIENTS on aura la solution @ déduite de la solution 0 écrite plus haut

1 1 8=(—X + M. — Y5) 2(Xo— VF(— h, =: 9 — :),

où — QE ie euh (XX )(X = Y)

Par suite, une solution particulière de l'équation (5) sera

Et l'on peut alors déterminer À de façon que cette solution soit la fonction de Riemann relauve à l'équauon (5). On voit, en effet, que pour X = X, le facteur

s 1 7% NE) rien : I (—X+X,)" :* rend 6 nul ou infini à moins que À = — ,: Pour cette valeur

de À on à, après avoir multiplié la fonction par (X, — Y,},

NN EN NE 0 y)? F(e hr s)

Cette fonction & est une solution de l'équation (5) dépendant de deux paramètres X,, Ÿ, et se réduisant à l’umité pour X = X,, Ÿ — Y,. C’est donc bien la foncuion de Riemann cherchée.

On remarque que cette solution est indépendante de la courbe le long de laquelle on se donne les valeurs de la fonction IF’.

L'équation (5) a ses coeflicients finis tant que X Z£ Y ; ou, si l’on veut, la droite X = Y est une ligne de discontinuité pour l'équation (5).

Les cocfficients demeureront par suite finis et continus tant qu'on ne traver- Sera pas la droite X =®

Or, en remontant à la signilication des variables X et Y, on voit que

‘ec A à n AU à \” = ° Comme on suppose cssentieilement 4 Æ£o, X — Y sera nul si Oo

SN - A + È An(1 — 1) x? Tee ; D'ailleurs, comme X — Y — a PAIE et que à = cos* =; il en résulte que toujours NA.

Les valeurs de la fonction Il n’ont donc lieu d'être déterminces que pour une

seule des deux régions en lesquelles la droite X = Y partage le plan.

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