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ee 1e Ghoug te Y = sh L) es sq

donnée par la formule indiquée précédemment

D ol OI" (7) x (al [ u Ag dx — ay À,

en désignant par X,, Y, les coordonnées du point À et par X,, Ÿ, celles du

point D (fig. 3).

On cherche donc ie développement du second membre de cette égalité suivant les puissances de X, — Y,.

La valeur trouvée pour & exige le développement de

un (Y—Y:) (Ko X) FC pus) TR -NR)

suivant les puissances de X, — Y,.

Or (QE) CN) ONE 0); OR AMOR TS)

D'ailleurs, on sait que l'équation du second ordre précédemment écrite à laquelle satisfait la série hypergéométrique de Gauss, admettant comme points critiques les points o et 1, est satisfaite dans le domaine du point 1 par les deux

intégrales particulières OU

ou

(1) Voir DarBoux, loc. cit.

[2 ee

en posan L

SE Oo | |

La solution de l'équation E (2 ml :) s'exprime alors en fonction des deux

précédentes par la formule ()

f f \ - ‘ = SpiCee 1 4 log2 VAT I PA ii Do | UN io) Mot AU Fire T D + TE AT APN CO REC

Il est alors facile d'obtenir l'expression approchée de la fonction de Riemann &, quand X,-- Y, tend vers zéro. Il suffit en effet de réduire la fonc-

. I Li : .

uion Fe il: 15) à son premier terme et d'annuler Ÿ(1 — 5). On obtient ainsi pour premiers termes du développement de & suivant les puissances de (X, — Y;,)

1 T à a T ; ONE RE ON ET) EX Y,)°

ns (we) —

HAE CRE MN ET) Se Gt)

-[a(Xs— Y;) 1.

la dernière parenthèse procédant suivant les puissances entières et positives de (X,— Y,).

Cette valeur de & transportée dans l’expression (7) donnera la valeur de If au point X,, Ÿ,. Mais on a vu [IT Partie, équat. (5 )] qu'on en déduit le coctficient II lui-même du développement de la fonction perturbatrice en mullipliant IF par le facteur

G+a)=fer— pit at) ?,

qui s’écril 1c1 Paul (EE IN EV AIRE

x, étant la valeur de x qui donne à X la valeur X,. Il s'ensuit que, dans le deuxième membre de l'équation (3), la partie principale du terme qui contient IX, , s’écrira aux environs de X, = Y,

Di

| ï x = 7 7 = D] sr Yi} MVL — Yi)

ose 1 ir M) Re Yo), | + PE TOY.) Cote |

(1) Tannery, Annales de l'École Normale, 1. VII.

(ex.

TA Li er ee I, | EX NA DD o+eæ|

On remplacera de mème ‘« par sa valeur dans chacune des intégrales qui

figurent dans la formule de Riemann (7).

Et finalement la solution prendra la forme

(a) x, = À + B log(Xo— Yo},

À et B étant des fonctions de X,, Y,, régulières en les points de la droite X,— Y,=— o et développables suivant les puissances de X, — Y,.

À, réduit à son terme constant, s'écrit

&log2 Te Be) | T TOR ENS

X X 7 ‘OIL’ T T T 1 EN —1 DNS 4log2 (X — Y,) | il MR LR NE eV) À (2) [RE Log] ax Y / ‘OI! 7 7 3 EN = A te = 2 \—5 loge 7 L (M Y) FA d ) (Xi Yo) (Xo Ve) (1+x5) - = É ax NX; —Y) dY,

© Yo

et, bien que l'élément différentiel des intégrales qui figurent dans l'expression précédente devienne infini pour une des limites, elles ont un sens même lorsque X,— Ÿ, tend vers zéro, comme on le vérifie aisément; elles se comportent en effet pour X,— Ÿ, comme les intégrales

ei "logx — dx, 2e il Vx 0 Vz

L'équation (9) donne donc, si l’on réduit A et B à leur terme indépendant de (X,— Ÿ,), l'expression approchée du coefficient II,, (X,, Ÿ,) lorsque la valeur de X, se rapproche de celle de Y,.

Lorsque X, = Y,, le coeflicient I, Mer égal au coefficient de Laplace b?,

qui n'admet pas évidemment la ie X, = Ÿ, comme ligne singulière. D'ailleurs, le terme principal du coefficient de log(X, — Y,) dans l’expres-

sion s'écrit r T L = re B—--Ux, Y)) Resa =, AE) (+ ay]

a LU Xl XV) OX Ve) (Xe —Y,) (rat) dx

OM OIl pi is re { Fi Le) (Xi—Y5) ? (Xo—Y) ? a+z?)-] aY,

et les intégrales ont un sens. Il est, par suite, nécessaire que la distribution des valeurs de Il, le long des deux parallèles aux caractéristiques, soit telle que ce coefficient B soit nul. On aura, par suite, entre le coefficient de Laplace L° et les valeurs que prend la fonction Il le long des droites CD et DB, la relation

approchée S— À,

qui, si l’on tient compte de B = o, donne finalement

À 4 G+ ar DIR, | Re et ra us à |

CE

or

drole ne OX Sas Je oIl' —— we

où l’on suppose

OT) Cv)

KE — de

Ne los

we

1 (X, —Y,) ï SX, MONS (X — Y,

(Xo See Yo) (Xi Ÿ)

Los “ dY

(Xo— Y)}(X1— Yo)

On à vu (Chap. IT) que les équations aux dérivées partielles du second ordre, auxquelles satisfont les différentes fonctions de Il qui correspondent aux coetficients IL,,, Il, IL, IL, -.., du développement de la fonction perturbatrice, se déduisent les unes des autres par une transformation de Moutard. La solu-

üon de Riemann ne pourra leur être appliquée que si l’on détermine pour cha-

cune d’elles une fonction analogue à tion de Riemann.

la fonction &, que nous avons D.

Cette détermination s'effectue aisément. On a établi, e

effet, dans le Chapitre IT que toute solution & d’une équation déduite par È

procédé de Moutard d’une équation en z, au moyen d’une solution particu-

hère w, s'écrivait

mit

a) 6) ® J ot TT par suite, (wa) __ ds do dx ‘0x ‘0x __ d{(ws) 23 do dy dy dy

Tout revient done à déterminer la solution z de l'équation primitive de

facon que la solution correspondante 5 de la nouvelle équation, déduite par le

procédé de Moutard, soit précisément la fonction de Riemann de cette dernière équation.

Si nous désignons par x, y les variables indépendantes, nous chercherons donc une fonction (x, y, #5, ,) de ces deux variables et de deux constantes

mr telle que G(To Y> To non = T;,

a(æ, Fos Lo Le) — 1.

Cela exigera, si l'on se reporte aux expressions de Se de ue l'on ail 06 3 d0) vs (4 S ê = hf Dr RO E dx T4

do 03 do none toy nor

pour TT:

par suite, la soiution 3(x, y) de l'équation primitive devra satisfaire aux deux

conditions O(Z, Jo) A, ME EE — Le d +) O(Xoy Yo) ; AA 0) Adéns VN = SRE de pe Cris) OL, Yo)

Ces conditions nécessaires élant imposées à 3, voyons la fornxe que prendra 5 pour & = x, où pour y = y,. On obtient alors

d(w5) 00) D A NL

d(w5) __ do dY dy

pour LT

relations qui donnent pour cs des expressions de la forme

o(x, D D eme O(X, Yo)

(Los PR eee ur.

(Los Y)

la constante Æ étant, d’ailleurs, déterminée par l'équation

/ © (Los Yo”

(Los Yos Los Yo) —1+

mais On peul toujours disposer de la constante d'intégration qui figure dans la

quadralure du second membre de l'équation qui détermine 5 en fonction de = et de w, de façon que la valeur 5(x,, y, x,, Yo) Soit égale à l'unité. Dans ces conditions, le facteur k est nul et l'on a

c(x, d'os Los Yo) — 1,

OR Ve Te do) — 1.

Notre fonction s ainsi déterminée est donc bien la fonction de Riemann cherchée. Elle correspondra à la solution 3 de l'équation primilive qui, pour y = y,, prend les valeurs de