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TROT IX NME NL

Mais ce qui assurait dans le premier cas le succès de la méthode, c'était cette propriété des invariants de l'équation différentielle de conserver leur valeur quand on effectuait sur X et Ÿ une même substitution linéaire. Ce fait ne se présente plus ici. Et, bien qu'on puisse trouver un grand nombre de solutions particulières de l'équation en 0, homogènes ou harmoniques, la fonction de Riemann semble fort difficile à déterminer.

Mais, en réalité, la détermination de tous les coefficients du développement de la fonction perturbatrice se ramène à la connaissance des seuls coefficients à

deux indices pairs. Cela résulte, en effet, de la relation entre cinq coefficients DA

écrite au Chapitre I et qui devient, avec les nouvelles variables X —

ee M

ni [Cm soi —s)1E,::,:-: SEE (m —} Se

[( TEE SH 0 qe (m nie Ste r

Et, pour » et rn impairs, les indices des coefficients qui figurent dans le

Fig. 4

o,m Zm-2

ie ULE Ne à 0,4 l 0 ne SEA 42 m-2,2 0,0 20 40 60 mo

second membre sont tous pairs. Et nous avons montré qu'on sait pour chacun d'eux déterminer la fonction de Riemann relative à l'équation à laquelle ils satisfont.

On a vu que, d’une équation aux dérivées partielles à laquelle satisfaisait Le coefficient IL, le procédé de Moutard permettait de déduire une équation à Panel tenir -Darnesemple comme ll,,—11,;1l,.,—I1,,.., où peut exprimer le résultat suivant :

Convenons de porter en abscisses et en ordonnées les indices, tous deux pairs par exemple, des coefficients : le point d’abscisse », d'ordonnée x (fig. 4), représentera le coefficient Il,,,. Dans ces conditions, tous les coeflicients dont les points représentatifs sont distribués sur une parallèle à la deuxième bissectrice de l'angle des axes satisfont à une même équation aux dérivées partielles du second ordre de la forme

0x 0y —/ 1e où (2H —1)a ZE, JE