OX
On voit que les onze dérivées paruelles du premier et du second ordres que nous venons d'écrire s'expriment en fonction linéaire des neuf expressions
Le Z' cos£, L' cosn, 27, Z' cosË, /L'LCOSTS
Z cos, "Zicosicosr, 27hcosn;
Mais il existe entre ces neuf éléments et la fonction Z quatre relauons obtenues : en prenant la dérivée logarithmique de Z'= — sF-6+1); en multipliant les deux membres de l'identité obtenue, soit par cos£, soit par cos; enfin, en prenant la dérivée logarithmique de Z = K°*.
Cela donne les relations
(12) O—(s+1)Z + (1+ x°)2 — 2au2" CosE — 2avL"cosn, (13) O—(S-+1)/ cosé + (1+ &)Z" cosE — 2ou7" cos? E — 24%" COSE cosn, (LR) o=(s+1)Z' cos + (1+- x?)Z" cosn — 2auZ" cosE cosn — 2av7// cos’, (15) 52 (1+ax)7 — 2au/! COSË — 2a%// COS".
in somme, les neuf quantités Z', Z'cos£, ..., Z' cos n, satisfaisant aux trois relations (12), (13), (14), six d’entre elles sont indépendantes. Elles permettront donc d'écrire, entre les douze quantités constituées par Z et ses dérivées partielles, six équations indépendantes que nous allons former. Remarquons de suite que ces équations fournissent aisément celles auxquelles satisfont les coefficients IL,,;' car elles sont des identités en x et y et il suffira d’égaler les coefficients de x” y” dans les deux membres de ces équations obtenues pour Z. Il est immédiat que les coefficients de x” y" sont
QUE dans / Op. du
OL RS OZ FT ans FT
ol, nm dans OZ dc 0x”
Et, comme on peut écrire
VA ZT; E à :
il en résulte que le coefficient de x” y” sera q
2). dZ
— ELA Fo dans TE?
{ Ë (m+n) TZ
a dans —.
4 mn dn°
Les équations (1), (2), (5), (6) fournissent successivement les valeurs
TO M @YL 22! COS —=— — ; 27! COSNn —=— — —; : & Op & Ov nn 72 OZ 21 DE Es AZ! cos? n — Fe 42" cos?ë Æ Ja un n RON
En tenant compte de ces valeurs, on déduit de (3) et (4) une première
équalion
Oh - d'il GE ,, ON di, PE Cou dv? ) :
où l’on écrit If au lieu de If, et où
m—n nm + n = TERESA PE RUE ( 2 L'équation (7) donne 1 DZ
4L"COSE cosn = = ——:
é a? Op. dy
Les équations (8), (10), (11) fournissent
LE PECOSETECOS Te
1 024107 y OZ à dx a? Op 2? dv”
1 OZ NC / MOT d'Z 2l% du a Op? È CAN dc dp. é I (: OZ, y dZ pu ®Z TZ )
a OÙ &æ Ov! œ «pi. dv d2 dv
Toutes ces valeurs portées successivement dans les équations (0), (12), (13), (14), (15) nous donneront cinq équations nouvelles.
Les trois dernières nous fournissent, écrites dans l'ordre (15), (13), (14),
. ol OI a(a?+1) OI 25 a?
(2. ou ? o Le 0 0 DO e M: di ï) CE 0 eee IR, 2 2 RE NS DITES (0) (æ r)(e du? à du. 0», F2 (x + Vo ae (25 +1) re:
; PIN ŒII ; XII OII (5) CRIE Re © | Ho (œ°? + dx La (2s +1) = ie
On voil que ce groupe d'équations est indépendant de p et de g. Fous les coefficients IF pour lesquels l'indice s est le même satisfont donc à ces trois équalions.
Mais on vérifie immédiatement que (CG) et (D) s’écrivent
CR PS ol OIL : oll : Le — 1) (es 7 s) L CA LES 2e +2] = ,()
Ju ol OI . ol dy + Ce En: on CAUSE Die t zu | = 02
L'ensemble des trois équations (B), (C), (D) se réduit donc à l'équation du premier ordre (B).
On obtient une équation équivalente à l'équation (12) de la manière suivante :
L'élimination de (Z’) entre les équations (8) et (9) donne une valeur de Z’
NT Our) PTE 7, ie OT OL OYA AN ABUS QUO OU ELL nd) 0p° MS 0x Ov Ge Mob 0) ) Le d°Z 12 dZ À OT OZ, RC HE 2 œ) CR 02° ‘ dx db. 03 09 22
qui, mise à la place de Z'” dans le second membre de la relation (12), fournit
l'équation
M on. oO. 0] ,, o0 oh
LETTRE RO A 0 0) 0) A Ja du 7 ad) [2(s + 2)&?— 3(1 + a =) Lat(s +1) — (1 +a)e D 10:
On donne à cette équation une forme un peu plus simple en lui ajoutant
d'où il résulte
E À SU nn) f : JU de II Ci PORTER 1 Cope T° Ja dv REA a. OIL CURAUIA Éponrer AD (Se DENTS Mes +24 CE de Un) + 4s 2 II — 0.
Et l’on vérilierait sans peine que le premier membre de (E) n’est autre chose que le premier membre de (B), dérivé par rapport à x et multiplié ensuite par %.
La dernière des six équations prévues s'obliendra en portant dans lexpression (9) les valeurs tirées pour 2’, Z'cos£, ..., Z'cos’n des huit équations
précédentes. On obuent
F a? , PI . OIL “ ' o? 2 dI : OIL 5 mn CE) ue P du? sa du. 1 ie 2 y? dv? 0 dy 1 ) » ol Ne II 2 OPA, e AI = du? % Qu 09 Ge ONE 2 WU . ŒI a(, OIL + ou à ol | Me os Jp. mn ou T AE Ju. dy 9x
0) SUR LES COEFFICIENTS On remarque que, sur les six équations (A), (B), (C), (D), CE), (EF), deux
seulement, la première et la dernière, dépendent de p et de g. Les quatre autres, qui se réduisent d’ailleurs à (B), comme nous l'avons vu, sont donc communes à tous les cocflicients du développement de la fonction perturbatrice.
Les relations entre la fonction II et ses dérivées, indépendantes de p et de g, c’est-à-dire des indices » et», se déduisent aussi facilement de la valeur des
coefficients exprimés sous forme d’intégrale double
. | Da î T° IPS — n a ci 5 RES T2 amy xy[(U+æ)sy— au (x?+ y?) — av (kr r)]|
x et y élant deux variables imaginaires assujelties à décrire dans leurs plans respectifs les cercles
és E LES UE
Les points singuliers de cette intégrale double dépendent de à, v, «. Faisons varier uw par exemple; on peut toujours s'arranger de façon que, si & devient u + du, les points singuliers de lintégrale n'arrivent pas sur le chemin d’inté-
° a a ON OIL gration {æ}=1,/y|=1. On peut alors, pour prendre les dérivées > 25; e l- OY
dériver uniquement les fonctions sous le signe 111
nn. Oyr AM (R ES VI VAL AY BNP Seat C x J PAL R+:
en posant R=zy{[(G + œ)xy — ap(x?+ 3?) — av(x*y?+ 1)].
Comme nous prendrons des dérivées secondes et qu'apparaitra ainsi R°*? au dénominateur, mulüplions numérateur et dénominateur par R. On aura ainsi
