GONE
— (M: + 210, + 126) — ov (ME, + IL, + IL, + IL,,)]
où, dans le second membre, Il;; représente le coefficient IE, ;, ; relauf à l’exposant (s + 2).
On a de même 0H (17) = GR = saf[(1 + oc?) (I, + Il)
dy — eu (l, + Il
2 + IL, + IL) av (IE, + 218, + IL, )|.
La dérivée prise par rapport à « donne la relation
OII OI OI 8 —/, Tr? mn mn mn (18) AT La =) d or )
= — 250? [(1 + x&?)II,, — ap(Il, + Is: ) — &v(IL, + IL:,)].
Or si, dans l'expression de If, on multiplie le numtrateur et le dénominateur par R, on a immédiatement
IL y OI dx dy Lan (I Fe ON pn MTe\ a° y° dx dy (19) 4 T°? ( mn + 5 Op. NS De le A + a? ff am) amy Reset , ce qui donne bis Te l H ou: à OÙ, n (19 ) 4T (ne. T s pe = s dv
= (1 + a?) [(1 + œ?)IL,, — ap (T3 + IL, ) — oy (IE; + I:)].
La comparaison de (18) et (r9/*), c’est-à-dire l'élimination de l'expression entre crochets qui figure dans les seconds membres, nous donne précisément l'équation (B) obtenue précédemment
OI ON ax(ax?+1) OIl 25 a?
(B) PE is
du. dv QC — 1 Da se
On trouve de même successivement
(20) — Gr TRE = (6 Je Cast Mu + Me] (21) — LT ne s(5 + De (Ta + IL, + IL, + IL] 4T du. dy 6# 42 2% 46 [9 PI,»
(22) Res (5 +1)e [Ils 211,, + IL, |; puis
eo eee OR PSS » on) = as(s + a [Ils + Hs],
. ( Op. x Op &x Op? œ Op dv 0? ie yn L TAURE " dE, 9 (24) — (or nn Ce dv? s en) = 25(8 + 1928 [Mu + Is], 0? Il I d? IL x me IT 1 ol» 112 Oo, nm I OIL, EN / 0] MI LS mn MI A NT Ne ir F1 do? (u Oo dp. ” da 0) }+a( dp. rer CANON
(s+i)af2all,— pb: + 13) — VB; + 1L:)];
et l'élimination des quantités entre crochets qui figurent dans les seconds Se )
membres des équations (16), (17), (19/"), (20), (21), (22), CHAR GR)
à savoir les six expressions
(I:,), (+ IL), (Is + I: ), +2, +1L), (+ Lo + 1, +16), (+ 211, + IL),
fournit trois équations qui sont celles trouvées précédemment et désignées par les lettres (C), (D), (E) et qu'on obtient en dérivant l'équation (B) successivement par rapport à L, y, æ.
Toutes les équations que nous venons de retrouver [(B), (C), (D), (E)] sont indépendantes de m» et de ».
On peut se demander s’il ne serait pas possible de retrouver également les deux équations (A) et (F), ou des équations équivalentes à celles-là. Il faudrait, pour cela, avoir en nombres suffisants des relations entre les coefficients où figurassent les indices » et x de I[,,. Or, M. Poincaré a montré (") que, dans le cas qui nous occupe, cinq coefficients IT étaient liés par une relation linéaire à coefficients rationnels qu'on peut obtenir en égalant, dans les deux membres de l'identité suivante, le coefficient de x” y”,
A2 G'ÉMSS NL EN sx dA?
dz AS) AS dx
Appliquée aux coefficients qui figurent dans les seconds membres des équa-
ions (16) à (25) et qui sont relatifs à l’exposant s + 2, cette identification fournit cinq relations
cs & ; = Em — 4), = um —5—s)1l;+ pm —3+5s)1f,# v(m — 5 —s)1L3+ »(m — 3 +s)IE,;, 1 + o&? . -
: Em — 3); pm —4—s)IL,+ p(m—2+s)IL,+ v(m— 4 —s)M,;+v(m—92+5s)IL.., 1 +
= (m—5);=p(m—6—s)1l,+ p(m—4+s)ll,+ v(m—6—5s)10,,+v(m—4+Ss)Il,, 1 + a? = ;
= Cr —3)1L;= pm —4—s)B;+pu(m—2+s)IL;+v(m—4—s)IL,+v(m—2+s)IL,, 1 + o?
En — 5); pm —6—Ss)IL,,+ pm — 4 + s) IL, + (me — 6 — 5), + v(m — 4 +s)IT
511): . . . . ! CL ’ ’ et l'élimination des treize coefficients figurant dans les égalités précédentes entre les dix relations trouvées précédemment et les cinq nouvelles fournirait
(1) Cours de Mécanique céleste, t. II, p: 130.
DU DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURPBATRICE. 1 deux équations aux dérivées partielles qui ne seraient plus alors communes à tous les coefficients IT
mn*
S1 au coefficient IT,, on fait correspondre le point du plan de coordon-
nées 4, 4, ..., on voit qu’on obtient treize points du plan qui sont situés sur les côtés de deux carrés concentriques et au centre même de ce carré. OÙ OI OH AIT ON Op.” dv’ Op? Op dv? dv?
Elles se généralisent aisément. Une dérivée d'ordre k de la fonction IT s'exprime au moyen de coefficients relatifs à l'indice s + Æ et dont les points représentatifs sont distribués au centre et sur les côtés de k carrés concentriques.
On peut écrire, par exemple,
On a pu remarquer les expressions symétriques de
k 1 0 IE,, n
Que = S(s+i)(s+2)...(s + kX—71) (1, + 17, )* ssmbol:
où, dans le développement du second membre par la formule du binome, le
terme C$ (IL, (IL, Ÿ est une expression symbolique qu’il faut traduire par Œ IL, Xk+aue De même on vérifie sans peine que
ou (s+2)...(s+Æ—1) (I, + Il, )smbol.
el
= CARS LEE l k symbol k' symbol nn MORE Es) POSE IT) ARR
