DEUXIÈME PARTIE
Les équations aux dérivées partielles du premier et du second ordre auxquelles satisfait le coefficient IL,,, de x” y” dans le développement de la fonction perturbatrice ont été obtenues en considérant IT, comme une fonction de trois variables indépendantes &, 1, v.
Ces équations sont
ue (p?qg?—vp?)H— 0,
N +. oil Tr) PEL >, JU (E) Dons dp? a») "À Op. Lot)
OI ON œ(a?+1) OII JS GERS (B) PE CHE ae + I — 0
a?— 1 dx a?— 1
et une troisième équation désignée dans la première Partie par la lettre (F), beaucoup plus compliquée que les deux équations précédentes et dont nous ne ferons pas usage.
On se rappelle la signification de uw et de y — C0. Ÿ —Sim 2 be — 5 , #5 ss Donc & et y ne sont pas en réalité des variables indépendantes; et, en tenant
compte de la relation w + v = 1, on peut rechercher les équations aux dérivées
u et &« étant les seules variables
parelles auxquelles satisfait le coefficient IL,,, !
indépendantes. Cela revient à éliminer v entre (A), (B), (EF). Nous n’aurons, pour l’objet qui nous occupe, qu’à considérer le résultat de l'élimination entre (A)et(B).
Comme il ne peut y avoir de confusion, nous écrirons dans ce qui suit IT au ne r + d Ds ee x lieu de IT,,. Convenons de désigner par 5 la dérivée de IT par rapport à uw
quand on considère IT comme fonction de et « seulement, c’est-à-dire quand
: DRE | + d on y suppose y remplacé par sa valeur 1 — 4; et convenons de désigner par =
la dérivée de IT par rapport à & quand on considère II comme fonction de DÉN'E CE On a évidemment | ao ON.
ee
d'où
à Il Il in portant cette valeur de : dans (B), on aura la valeur de mn
OIL da = a(xi 1) da 254?
Re 7: œ'—1 dax x?—1 15 car 1l faut remarquer que ON ue d\l da dx 4 ON , La valeur de 55 sera donnée alors par ON di a(æ?+1) dII 25 œ?
a œ'—1 da Pre L'opération 0 CPR) db. 9 dp / appliquée successivement aux deux équations ON ŒU c(o+1) dil DSC (1) ——— y = IL, Op dp GR a 7 (67 GP — = DH y a(a?+ 1) dif 25 œ? LI Ce) 0. oi di PTE ee CORTE es.
nous fournit les deux relations suivantes entre les dérivées partielles du second
ordre Cl (LEA | DE : ŒN dit aa +1) d°?I Den GA Ou? n du du? db. œ—1 dady at—1 du à d'U PU d?II di a(a+1) d2\ 2sa? diIl Op. dy PT 1 CODE É dy? db œ—1 dadp a?—1 dy à
L'addition membre à membre de ces deux dernières équations donnera la
