PT

Or la courbe o = (i2-i\^ PQ -i- . . . + «„V„ coupe la droite .r, := o en // — 2 points situés sur S; son degré /j h- </ -i- i est au plus épil ii n — 3, puisque /> est au moins égal à i , et (jue 2/) 4- cy ^ « — 3; il en résulte que celte couihe se décompose en une eourhe II de degré /> -+- q, et en une droite .r, = o: un a aussi

Les deux derniers zéros de ^i(/) n'annulant paso(;) doivent annuler P (J (/ ou A(/), ce qui est contraire à riiypotlièsc.

La proposition est donc générale.

L'équation de S peut, d'après ce qui précède, s'obtenir immédiatement en partant des relations (i 1), sous forme de déterminant; on aura

Ai;

Ai,

BiV

Bi,

.. Iti«

. Ku

. . Xî

Itli

■ 'li

Pi ■

m,-, ... , p^ s'obtiennent également de suite sous forme de déterminanls. On a, pai' exemple,

Cu.

étant posé

21. Théorème. — La courbe rlont Injualinn est A(.r,,.r2,a?3) = o a un point multiple d'ordre p — i eu loul point inulliplc d'ordre p de S.

AdiiieLlons, pour' iixer les idées, qu'il s'agisse d'un point triple de S, et soient a, [î, y les trois valeurs correspondantes du paramètre /. On aura

"'' x,(3() .ro(c() J-jia) '' J-,(a) J'^la) ^'at^)

(en désignant pour abréger par 1 la valeur des trois premiers rapports, par a celle des trois derniers). La courbe S étant supposée de degré n, les quantités •v,{y.), a-^(a), x.j{'y.) ne sont pas nulles à la fois; soit, par exemple, .r,(a)>o.

Considérons les {fi — 3) équations (r3)

, ( w,j'.j-|- «..r^H-.. .-hr7,.r„ = /',,

et les fonctions

9,(0 =m,{a).r,(t) -h n^(c.) x-^{t) -h . . . -+- fj^{a) .v„{i),

îp„-3(/) = /«„3(a) .r!,(0 H- ~hq^-3(a)x„(t).

Les quantités W| (a), ... désignent les valeurs que prennent les polynômes du premier degré w, (a;,, a^j» '^s)- • • quand on y remplace x,, .r^, .1-3 par

En vertu des relations (i3) et (r '1), on voit que les fonctions o,, o., .... 'P„3 satisfont aux relations

On en conclut que les {n — 3) fonctions

qui s'annulent pour l = a, s'annulent également pour ; = [i et / = y. Il en est évidemment de même [équations (i4)] des deux fonctions

x,{t).i\{o'.)-x,(t).r,{a), •^•3(0 ■'•!(=<) — ■^^■l(0•^'3(a)• l'ar conséquent (théorème III), il existe entre ces deux fonctions et les

n — 3 ronctions -T, =*h-3. <lt'ux relations linéaires et lioniogi'iies, identiques en ,r,, -v.,, ... , .r„.

Soit une (le ces relations

'/i— 3 ' rt— :i

O = (7, -f, -i- (75 -«■, -H . . . -^ rt„

--rt„a[x,(0 J-i(^ ) — -«•,( 0-?-2(5!)l- i-«/,-i [-'-3(0 -f-ii^) --ri\y.).>.\U\\:

10 et .1-3 ne tiirurenl pas dans

11 reste

a don

rt,,,^ a,,

ce (ju'on peut écrire

i-z^-sCO] -xi(0['', 9i(^.j

Cette équation, puisque o, (/\ . . . , '^,,-3/1 ne renferment [las .t, /Cl (pic x,[%] n'est pas nul, enlraine les suivantes :

o = f7, 9, (;<)+. . .-!-(7„3 9„3(:f), " = "1 Vi (' ^ -i- ...-!- (/„3 9„ j ( < ).

(-ette dernii're comprend la précédente.

U existe donc entre o , 9„j deux relations linéaires et homoi;èiies.

identiques en .<•,, .i\i, r„ : en d'autres termes, si l'on se reporte ii l'i'x-

pression des fonctions o, il faut (pie les déterminants mineurs (juOii ohlient en supprimant une lii;iie cl une coldiiue (piclcoii(|ues du déleiiiiiiiaiil

in,i y.)

soient nuls. Le déterminant c/sera é|ïalement nul.

On peut donc trouver des constantes 7.,, ..., y.„3. différentes ensemhic de zéro, telles (|ue Ion ait

y.^iu,[y.) — — y.„3'l..{7.\

' y.tni„-i(y.) -i-. . .

si 7.|. |i;ir cxiMiiitle, n'est pas nul, on peut écrire

y, Air,,.,-,, .(•.,) =

iroù, en ordonnant par rapport aux éléments de la première colonne,

(l6) «lArrr i(a,7», +. . .H- a„3yi)rj,.

Or la fonclion du pi'emier degré en r,, x.,, x^

s'annule pour ; = x [équations (i >)]; le déterminant mineur 6, devient, pour / = X, un des déterminants mineurs nuls de d\ en d'autres ternies, la droite

et la courbe

passent par le point triple de S considéré. Il en résulte, par l'équation f iG), que la courhe

passe par ce point, et y a un point double.