Les équations (i3) nous donnent x^ v,^ sous la toi'ine
/i étant le déterminant
In
Pa-^3
Je dis que les courbes /'i = o, . . . ,/„— «s (|ui sont d'ordre /i — 2, ont un point multiple d'ordre/^ — i en tout point multiple d'ordre /> de S. On peut, en effet, écrire/,, en désignant toujours para, [i, y b^s valeurs de / corres-
pondant ii un [xiiiit triple de S,
noiii'
(Mil
r, y.\ ..., r,,;?.) désignant ce que dcviciiiient les foneti'tns ,r,. . / = 7. ; d'oii l'on tire
■''i(3!)yJi — 7»|.r;(3().r, —//,.;■.,( ;<).r, — ... — ./,.(■„( :«).fi //,
.ri(z)/<2 — //(^^..(a)./-, — ii2-r:,[y.).v, — ... — '/if„{y-)-f, «2
■'■i(5c)/^,-,— '««-v'-vl^:).?-,-— — 7„3.r„(>)./-, «„^, .
Ordonnons par rapport aux éléments de la première eoloniic; il v
(17 ) .t\{x}/\ — ^x,.r.J x) — i[.c,(a)/', — /»,.ri( a).j-, — . . .— 7, ''„ ( :z ).r, ] 0,. Or les coniques
I) = .r, (>)/', — III i. !■.,( y. ).(■, — ... — 7|./„(a,i./'|
j)assent par le point triple; car, en faisant / = x dans les ndalions {\'^:, on t ro u ve
O =/', — /»,(3!).ri(3!) — . . .— r/,{x).V„(x).
Les conrhes i^, = o passent également par ce point, eomnu' on l'a vu plus haut; il résulte donc de la redation ^1- que la courbe /, = o passe par le |)oiiil tiiple considéré et y a un point double.
l'.\. Les é(juations 12) donnent
(I ou
Sri = /;.. =; -^, /.-(-... -^ y, /■„ -i- r.,, A.
Par suite, les courbes de degré //— i ./',. = o, /^^ = o /;^. = o
passent par le point triple et y ont un point double.
Nous reviendrons plus loin sur les pi'opriétés des courbes A = o.
/", = n /■, . = o qui sont, d'après ce qui précède, des courbes adjointes (le la courbe S.
CoiRBES Dl rnolSIÈMI- DEGRÉ.
■1\. La théorie précédente ne s'applique pas au cas de // = 3, puisque le nombre des relations du second degré entre les fonctions P est ^//(/; — 3), c'est-à-dire zéro.
Kn ce cas, les coordonnées des points de la courbe S étant de la forme
on pourra, par une transformation linéaire, ramener l'expression des coordonnées à la foi'ine
.r\^-p,(t), a-;=p,(o, Ji-',^v,{t).
Or les quatre fonctions V]{t), Vl{t), Vl{t), P, {t)'9 .,{t)V ^{t) satisfont aux ndations [équations (3j]
o(< 4- to) =9(0,
et sont, par suite, liées par une relation linéaire et homogène (théorème VI). Cette relation, ne changeant pas quand on y remplace t par / -f- 4' ou / -f- ^' c'esl-à-diie quand on change P, en P,, ou P,^., sera symétrique en P,, P., Pj et sera dès lors de la forme
p; + p^+p^-6ÀP,p,P3=o, •
A étant une constante. L'équation de la courbe sera donc
C'est la forme canonique de l'équation des courbes du troisième ordre, sans points singuliers.
ML Examen des cas particuliers.
25. Dans ce (jui précède, nous avons supposé que la courbe S représentée par les équations (6) était de degré « ; nous devons examiner maintenant les cas où elle est de degré inférieur, et que nous avons mentionnés aux n"^ 10 et 11.
26. Premier cas. — Supposons ([iic les trois Ibiictioiis -x, (7 ,, j".,i/ , .1-3 (/) aient /t zéros communs, sans (jue les (■(iiialions
aient d'autres solutions rommunos que celles comprises dans la rorniiile
// = < + h'ii -h nh' ',\' .
Pour (jue d\, .l'o, ,1-3 soient linéairement distinctes, il laiidra ! tiieo-
rënie III ) qu'on ait
Dans cette hypothèse, la courbe Sciant coupée par une droite en// — / points distincts, sera de degré ji — Ii, et irréductil)le.
Nous choisirons, pour les n — k — nJ^eii tonctions
■^4) ''"ri) • • • > '^'11-/,
(les fonctions linéaires et homogènes de 1\, . . . , l'„ s'aniuilaiil pour les /■ valeurs t,, /-,, ..., /;. qui annulent siniultanéineut r,, .r.,, .r., ; et pour la fonction
une fonction linéaire de P,, ..., P„ s'annulanl pour les mêmes valeurs, la valeur /, exceptée {Bcm., n" .5).
Cela posé, si l'on fait successivement / = /,./o, ...,//, dans les relations ft 1), on voit (jue les eoefticients des ternies eu
-'^■;-/.^-I) ■'■»-/,)- 2 > •••' ■''" doivent être nuls.
On en tire deux conclusions :
i" Le déterminant A( »-,, r-j, .r., ) a /• colonnes formées de zéros et, paisuite, est identiquement nul;
2" En éliminant entre les -^/i{n — ')) relations (11) les fonctions
,r^, J-|, .... .ri, .r,.v„ ..., X;Xj (/,/= ^, ...,/( ),
on obtiendra // — 3 + /i relations de la forme
( 3o ) m,, . . ., Y, dési^iK'iil (oujoiirsdcs polynômes du premier degré en x^,x.,,.i\ ; />, des polynômes dn second degré. Les fonctions mix^, iiiX.,, (jiX„,p,Hi\mellcnt le zéro doul)le t,, la Conelion s,.r„^,^, exceptée, car //i;- et.a-.,, par exemple, s'annulent pour / = /,. Il en résulte que t, sera zéro double de .v,. et, si l'on pose
on aura
o = 3c, .r; (li)-h Pi-v'., ( <, ) + y, y, (li);
et s, sera de la l'orme
Les (onctions s^, s.,, . .-., *„34.a seront donc fonctions linéaires et homogènes de deux d'entre elles; il en est de même pour les fonctions r, </,.
Il résulte de là qu'on peut, en combinant linéairement trois des équations (22), obtenir une relation de même forme oii x,,^^^, aura disparu, et former en tout {n -\- k — 3) — 2 relations de cette nature.
Lu opérant de même sur x„/, ^.^ -^«-i . '>n ai'i'ivcra à // — 3 + /• — 2 (/■ — 1 \
c'est-à-dire à « — i — /c relations de la forme
(23) 0 = in',.f,, -+- ll]x. +...-+- /;.r „-/.-!-'/,'.*•„ —/>', (/■= 1,2, . . ., /( — 1 — /,-),
et en éliminant .(■„ de la même manière, à « — 3 — /■ relations de la forme
(a i ) 0 = [j./,,rv+ 'J;,.T- -I-. . .-)- (Jà-r,,^/, — ct/, (/( = 1,2, ...,/(— 3 — /, ,.
Soit A' le déterminant du degré n — 3 — /■ en r,, a-,, .«'3,
pH-3-/.'
.le dis qu'il n'est ])as nul. En effet, la courbe S étant de degré n — /,-, et irréductible, ce déterminant ne peut être nul que s'il est identiquement égal ii zéro. Je dis que cette hypothèse est inadmissible.
Si, en efl'et, on l'admet, on en conclut, puiscjue r., ..., .r„A ont des valeurs finies, que les déterminants obtenus en l'emplaçant une colonne de A' par la colonne cj,, ^2, ..., ^„--)-k so'it aussi nuls identi(|uement, et, |)ar suite, qu'on pourra, en combinant linéairement les premiers membres des
reladons [i^j, faire disparnilic .r, dans les oorltirifiils de r,, . . ., t„ ,,. cl ■v', dans le second nicmlire de Téqualion ol)lenue. On anrail dune une itdalien de la forme
.r,(lt.c, H-. . .+ /„ ,/,.r„A) = •'■3(7', .'■! + . . .+ /;,-<•'■„/,).
Les '/? — ^-j zéros de .ro antres qne /,, z^, //, annulent donc la fonction :/,<■, -I- . . . -!-/„'*■»'„/,), car on pcnt toujours (dioisii' nu li-iani;lc de référeiiee (|ui n'ait aiieun sommet sur la eourJ)e S. de telle façon (|ue .Jo / et x,^:t) n'aient que les /i — /• : zéros eonimuns /,, /, /^. Mais la fonction /,.r, -t- ... -f- /,j., ;■„;, s'annule en inéuie teiu[)s que .r, »■„,,
pour 1^=1, /;, : elle a donc mêmes zéros (]ue la fonction c^, et ii"cii
différera (jue par un facteur eonstaut. En raisonnant de même sur la lonclioii /,.(■, — . . .. (ui voit (|ue la ridation précédente serait de la forme
ce (jni entraine L = o, et par suite une identité, résultat contraire au lemme du n" 17. Le déterminant A' n'est doue pas nuL
On tirera ainsi des relations ; 2I ' 'fs valeurs de -r .,..., .i;,^^ sous la l'orme
Ku les portant dans les relations '2'V, on pouria expiàmer .r„ en fonction de -v, . X.,, .2-.,, il moins que les /i — 1 — /• fonctions (/] ne soient nulles. Si ce cas se présentait, on pourrait, en commuant linéairement ees // — ( — /■ relati(U)s (3.3), faire disparaître r, dans les eoellicieuts de .v., . . ., .i'„^ et ■r'^, dans le second memhre de la relation obtenue, ce (jue nous savons être impossible. On aura donc .r„ sous la forme
17 étant du premiei- deiiré en.r,, ,r,, .j-.,, et l'on trouvera des expressions analoiiues de -v,, ,, . . ., .r„;, .,.
Ou peut donc énoncer les résultats suivants :
27. Si .(■,, .ï'o, r,, onl I; zéros roininiiiis. sa//s que les àjiKtltons
nient (/'aii/ivs s!>lnlions coniiimnes e/t ii (/lie celles (ornprises dans Ui Jonnnle Il 7= f -\- /a.) + /i/i'io', la courbe S décrite par le point (.r, , a",, x^) est de degré Il — /,•; le déterminant A est identiquement nul ; de plus, toute fonction linéaire et homogène de P|(/), ..., V„{t) s'exprime rationnellement en fonction dex,{t ,
