Lo théorème suivant nous sera utile plus loin

TiiKor.KMF.. — Si la cniir'/c S est de degré n. il n'e.visle aucii/ie relation identique en .r,, r^, l'j de la forme

(7, .r, A -f- a.^.r.. A -h r/^.rj, A H- r/.,/v H- ... H- r/„ /'„ =i o.

(7|, . . ., rt„ sont (les constantes, A, /.,, . . .,/,', son! les polynômes détinis an n" I.").

En effet, la fonction de dci^ré n—'i, l^,.i\[t), d\[t),.v^[t)], n'est pas nulle, puisque, par liypotlièse, la courbe S est de degré «, et que d'ailienis cette fonction n'est pas identicjuement nulle.

On aura donc, en divisant par A le premier membre de la relation précédente, et en y remplaçant .r,, x\>, a-, par x^ (/), -CalO' -'^'siO'

^^x^{l) + a.,x,{l) ^a^JC^it) -(- a.,.r,Jl) + . . . -f- «„.<•„(/) = o.

relation ijn'on sait être impossible.

Examen du cas général.

lu. Supposons maintenant (|ue la courbe S deiinie par les e<|uations ((jj soit de degré «, ce (jiii est le cas général; nous albms, dans cette bypothèse, former son équation, et les é(|uations de courbes (|iii lui sont liées d'une manière remarquable.

20. Équation de la eourhe S. — Les relations \\ \] nous ont donné les relations

Portant dans les relations ( 1 3) ces valeurs de r,, .... .»•„, on a

'n if;: + "//i3 + ■ ■ ■ 4- '/,/,„ — l'if; = 1» ( / = 1 , 3 , . . . , // — 3 ).

Les [n — 3) équations ainsi obtenues sont de degré n en .r,, .t\,, a\: je dis (ju'elles ne peuvent être à la fois des identités.

Ij-.x,^/,,,

on en déduit

Si toiilos, en effet, étaient des identités, on en déduirait idenli((uenient

'In -3

c'est-à-dire J\.,l^=/l.

Par suite, /l, (a:-,, .i\,, rg) serait divisible par A(.r,, .ro,.r3), et l'on aurait, quels que soient .r,, .r,, a-^,

X,, ... étant des constantes.

En parliculier, remplaçant dans cette relation r,, ij.r., par.r, (/), x^it), •r,,(/), il viendrait

relation impossible, puisque, par hypothèse, ■r,(/), x^il), .... .rHf/) sont linéairement indépendants.

Par suite :

Une au moins des relations de degré n formées plus luiiit n'est pas une identité; elle sera l'équation de la courbe S.

Ce raisonnement souffre une exception si A se décompose en un produit

de deux licteurs, dont l'un entre au carré.

Soit

Pet Q étant des polynômes en .r,, x.^, x^, de degrés/; et </, {^p-h tj ^ n — 3). En ce cas, la relation

donne

/, = POR = l>V\,

R et V., étant des polynômes entiers; de même, la relation

/; = pv,.

donnerait

Cela posé, un peut admettre, puisque x, (t), x.^{t) et ^•:i(/) n'ont pas de zéro commun, qu'aucun des zéros de x,{t) n'annule A[.r, (^),.r2(/), .raf/)] ; s'il en était autrement, un changement linéaire de variables permettrait de rentrer dans cette hypothèse.

( a'-i ^ Formons une fonction o[l) de la forme

o(t) = a.2-r.,{l) -h rtr,j-;,(/) -h a;X.Jl) -t-. . .H- a„.r„(t).

qui ait avec x,{i){n— 2) zéros communs, les deux derniers zérds é(anl différents des deux derniers zéros de a-, (/) (tliéori'me III); on a, d'aj)irs les formules qui précèdent,

a, j-, PO — a-, .r,, PQ 4- rt. \\ -^ . . . + a„ \„