X.,it], x,{t
2(S. Supposons que .r|(;), x-,{t), x.j{t) aient (// — 3) zéros communs : la courbe décrite par le point (x,, x.,,x.^) sera du troisième degré. Les fonctions — {t) et — (/) étant doublement périodiques, aux périodes oj, «c/, et d'ordre '^, pourront (n"9) se mettre sous la forme
'''•' (n— ''' ^' "^ ^-^- "^ ^''^' , j':. ,^. fi n, -H c, n.2 + C3 ÏÏ3
X, «in,+ «,11-,+ «alla' JTt (7,n, H- o-jIIj-H rt^IIs'
a,, .... C3 étant des constantes, et n;^.,(y = o, i , 2) désignant la fonction
nii fj représente une constante.
Or n,, Ho, II., sont liés (n" 21) par la relation
ir; -t- n^, -t- 11^ — 6 ) n, n, n^ = o.
I.a cdui'be du troisième degré décrite par le point (.r,, a-,, oT^) est donc du genre 1 .
De lii résulte la détermination du genre de S dans le cas général.
(iliXltF, Dl! LA COIRBK S.
2'.). Soit, en ell'et. une courbe S détinie jtar les iclalions
cl sup|)osce de degrés. Désignons parc,, l.,, '£., Irois fonctions linéaires et liomogi'nes de P,, ..., P„ ayant n — ?> zéros communs; la courbe S' décrite
( 3^ ) par le point il,,l.,,l.;i) est du troisième degré et ilu geiii'c un. Or on a, d'après ce qui précède,
i,- = l'oiiclioii lalioiuu'lle de -r^, .r.,, .r^, .r, =: ron(?lioa ralioniiiMIe ilo £,, :,, l-,.
Les deux courbes S et S' sont donc de niénie genre, d'a[)i'ès le tliéorènie Itien connu de Rieniann, et, par suite, S est de lienre un.
La courbe S, par le même raisonnement, sera encore de genre un, ([uand .r,i/i. .ro(?), .r//) auront des zéros communs, sans que les équations
aient d'autres solutions communes ([ue celles comprises dans la foiiiiule
// = <-!- //'.i -+- fl/l'r,)'.
\i\\ consé(iuence :
Jm courbe S est df s^c/irc un toutes les fois qu'elle est irirduetihle.
;{0. Second cas. — Supposons maintenant que les fonctions .«■, (/;, -r-Jj], Jcjj) aient /• zéros communs, et de plus que les deux équations
aient en u d'autres solutions communes ([ue celles compiises dans la formule
U r^ l ^r h 'si -^ ////' 0)'.
Soit posé rn = n -— /{ : les deux fonclious doublement [iériodi(|ues, aux périodes <o, no> , X(/) et V(/;, sont d'ordre ni.
La discussion qui va suivre nous conduira à distiniiuer deux cas. (|ne nous examinerons séparément dès maintenanl.
A. Les valeurs de // (jui satisfont simultanément aux deux éiiualiuus
sont de la forme
1/ ^ t -i- consl.
Lu ce cas, les deux fonctions \[t) et Y(/ i ont un svsli'ine de périodes Il 5
plus simple que le système w, /no'; soit (o,, o>\ ce système, et soit m' l'ordre (les deux Ibuetions, c'est-à-dire le nondjre des intiuis de ces fonctions, contenus dans un parallélogramme to,, m\.
Si les équations X{ti) = X(/), Y(//) = Y(/) n'ont d'autres solutions communes en // que celles de la forme
« = / -I- //(.), + A'fjj', ,
il résulte de ce (|ui précède que la courbe décrite par le point (i . X, Y) sera de degré m' et de genre un; sinon on retombera dans le cas que nous allons examiner maintenant.
B. Les équations X(«) = X(/), Y(m) =Y(;) sont vérifiées simultanément par des valeurs de u autres que celles de la forme l -t- /u:> + nli\<>', sans que les (onctions X(/) et Y(;) aient un système de périodes plus simple que le système oj, nto' .
L'équation X(//) = X(^) donne, pour toute valeur Unie de /, m séries de valeurs de u
t + /(r,) + nh' ',\' , «, -h A '.1 -(- nh' Us ,
"m-i + li''> + nfi''j>',
h et h étant des entiers quelconques. Les points critiques de la fonction u, dclinie par cette relation, sont donnés par l'équation
du
qui est vérifiée, en général, pour ■?./n séries de valeurs de u
V i-\- /lu -h nh' (W, ..., U,,„ + /ioi + /i/i'o)'.
Aux valeurs de u comprises dans une de ces séries correspondent, par l'équation X(«) = X(/), m séries de valeurs de u
T, + /; 'j) -h n/i' r,)'. T., -I- /i 'i\ -H iili' <j)' , . . . ,
ce qui, en tout, donne im- points critiques dans tout parallélogramme des périodes.
Supposons que la variable t arrivant à un de ces points, T,, la branche considérée de la fonction, ait pour valeur un zéro multiple, U,, d'ordre <-/, de l'équation \{u) — X{t) = o.
( 35 ) Posant / = T, -I- 0, // = U| -+- (', celte é(|iiatioii devient
/tétant nn entier positif, non nul. Si />' est le pins giand commun diviseur de q et de k, cette relation montre que les rj branches de la fonction //, dont les valeui's sont U, au point T,, se partagent en // systèmes, et (|ue les brandies d"un de ces systèmes se permutent entre elles (|uand la variable tourne autour d'un point ciitique.
La dérivée de la l'onction n est (bjnnée par récjuation
lu ~ \'(./)'
elle n'a ([ue m valeurs pour une valeur de /, et un certain nombre de ces valeurs s'échangent quand la variable tourne autoui' dun point criti([ue.
Si les deux équations \\u) = X(/), \{ii) = \'{f) ont, (jU(d (|ue soit /, des solutions communes en ii, il faut (jne les deux fonctions // et o, définies |)ar les relations
aient des branches communes : soient /, // //^,, ces branches. Il e<i
clair que, si la variable part du jioint / et y revient, après avoir déci'il un chemin quelconque, les fonctions ?/,, ii,, .... i/^ , devront reprendre les mêmes valeurs, à l'ordre près, et à des multiples près des périodes w, //lo'; et, par conséquent, les dérivées de ces fonctions, données par l'équation
du \'{ii)
lu ^ X'(0 '
reprendront les mêmes valeurs, à l'ordre près. Il en résulte que la somme
dn^ du. 2 'l'ip-\
~dt ^ dï • ■ ■ -~ ,/t
est fonction monodrome de /, dans tout le plan, .le dis quidic n'a pa^ de |)ôle à distance finie; car, aux environs d'un point t|uelconqiie /„. on peut, d'après ce qui précède, <lévelo[)per u, en série, sous la forme
■ ( 36 ) on a doiu', dans le domaine du point i^.
Or - est positif, - — i est donc plus eiand nue — i, et —.- ne renfernie pas
IJ 'J ' '- ' Clt
de puissances entières et négatives de (/ — /„). Il en est, par suite, de même
de la somme
diii du, dtifi^^
"dt'^TÛ ^'"^~dr'
et, comme celte somme est monodrome, il ne subsistera, dans son développement en série, aux environs de ^o> que dc^s puissances entières et non négatives de t — /„ : elle n'a donc pas de pôle à distance tinie.
D'un auli'C côté, les lelalions X{ii) = X{t), Y{i{) =\{t) ne changent pas si l'on augmente / d'une période : si donc la variable va du point / au point / + w, par un chemin quelconque, les fonctions u,, ..., itj,^, reprennent les mêmes valeurs, à l'ordre près, et à des nuilti[)les près de co.
/no', et les dérivées ^j • • • reprennent les mêmes valeurs, à l'ordre près. Il en résulte que la fonction ^ + . . . -i- — y'r^ admet les périodes oj./ho'.
Comme elle n"a pas de pôles à distance finie, c'est une constante, — A. On a donc
d/i, du. y du...
-^ + -^ + . . . + —^ + A = o dl al dl
OU
Pour determinei- A, remarquons que les équations X(») — X(/), Y(h) = Y(/) ne changent pas si l'on remplace / par ?/,(/), puisque X(?/,) = X(/). En conséquence, la variable allant du point / au point ii^[t.), par un chemin quelconque, les fonctions/, w, [t], ..., «/,,(/) deviendront «,(/), w, [//,(/)], . .., «/;-( ["i (^ )]' et devront reproduire, à l'ordre près et à des multiples près des périodes, la série de valeurs t, u,[t), ..., iip,{t). Si donc on change / en u,{t) dans la relation
//, H- «2 +. . .+?/^,, + A/ = C, on a
t -i- 11.,+. . .-h iii,-i 4- A «1 = t; 4- ?,, w + ///J-i 0)',
d'oii
(A— i) (M, — 0 = li'ji H- /i/J-,w',
et de même
(A— i) (tii — <) = À20) H- nu,',,' -
( A — I ) ( w,j^, — / ) = À/,-, oj — «.^,,-1 '.) Si A ililTère de i, on ;iur;i
■7a étant une conslaute : c'est Fliypothèse examinée [lius liant A , et (|ne nous avons écartée. 11 l'ant donc (jue l'on ait A — r = o, et il l'este
/ ^ i/i -^ II,
31. Cela posé, soit v. une valeur telle que les quantités 7., 11, y.
"/,, y- I soient différentes; d'après ce qui précède, les quantités »,(7 . u,\u^[%\, . . . , ?/p|[H, y. J seront égaienu-nt différentes, et les points y., u, [y.], . . ., itp, 7. ne seront pas des points critii[ues de la fonction 11. Soit 'i une quantité analogue à y. ; considérons la fonction
'"^ ' 5,u-,â)5,[//iU.)-iJ...0,[«„,(O-::ir
étant posé
Je dis (|ue la fonction 9 J; est monodrome. En elfet, si la varialile part du point / et y revient après avoir suivi un chemin (|uelcon(|ne. les fonctions «,, .. ., //^,, se reproduisent à l'ordre près et à des multi[des près des périodes. On a ainsi, en désignant par ■ un) ce que devient la fonction ///, .
{ «A-) z= «, -i- ll'ii ^ Itll (,)' (/.',('= I , 2, .... /* — 1 )
avec les conditions
puisque / -r "1 -i- .
devient donc
est constant. Le facteur
0,{iij, — y.)
(,. i II: — 3
^i ( Ui — ? )
f;t o{/) se reproduit mulliplié par la quantité e "' , c'est-à-tlire l'u-
nité. On voit de même que 9(/) admet les périodes to, /uo'.
De même, enfin, o(/) ne change pas, si l'on y remplace / par une des quantités », [l], U.,{t), . . ., 11^ , {t).
Les zéros de ç)(?) s'obtiendront évidemment en égalant à zéro successivement les facteurs du numérateur. Soit, par exemple,
On en lire
et les relations X(m,) ^X(^); Y(i/,)^Y(^) montrent que l'on aura
X(0=X(a), Y(0 = V(«), c'est-à-dire
/ ^ «X (, 3! ) + /( w -H nh' 0)' ,
k ayant une des valeurs i , 2, ...,/>— i .
Les zéros de o[t) ne peuvent donc être que de la forme précédente. Inversement, toute quantité de cette forme est zéro simple de o{t). Soit, par exemple, la quantité m, (a) : les quantités
reproduisent, à l'ordre près et à des multiples près de oj, ruo', les quantités
X, "i(a), . . ., iip^j(a.).
On a ainsi
Il p[u ^ { y.)~\ ^ y. -^ h 0) -+- fi/i' rW , et le facteur
s'annulera pour / = 11, [y.). Le point u,{x] n'étant pas un point critique, par hypothèse, les (juantités
«,(5c), «,[«,(a)], ..., iip i[ii,iy.)]
sont dirrerentes, et les facteurs du numérateur autres que h,,iir, — y- ne s'annulent pas pour/ = 11, {y.}. La dérivée de ce facteur ne s'annule pas non
( -^9) |)liis pour cette valeur, car elle est égale ii
>Im^, ,
01' 9j?/p[», (a.)J — y.\, c'est-à-dii'e 0', (o), n'est' pas nul, et -~ n'est pas nul
au peint t =^ u,(y.), puisque les valenrs de u sont différentes en ce point.
Il l'ésulle de lii que les zéros de o[t] sont, dans un parallélogramme des périodes, les quantités a, «,(x), ..., «p i(x); et ses infinis, les ([uantités |i, w, : [i), . . ., «^^,(3). On a donc, ^l. étant une constante,
Oi', nous avons vu plus haut que ■^i /) ne cliange pas quand on y rem|>laee / par (/,'J); il en est donc de mémo de Z{t), et l'on a
Il en résulte que les/; fonctions /, u, (t), . . ., ii^,, 7) sont, ahstraclioii faite des multiples de o, no>', les zéros de la fonction de u : Z ») — Z[t], où Zn) désigne une fonction doublement périodique, aux périodes (•>,«(./. et d'ordre p.
32. On en déduit que la courbe décrite pai- le point (r,, .r., .ij ) on (t, X, Y) est iinicursalc.
Il existe, en effet, entre les deux fonctions doublement pério(li(jues, aux mêmes périodes X(/) etZ(<), une relation algébrique. Si l'on se donne Z, on trouve pour /, abstraction faite de multiples des périodes, j) valeurs. Soit a l'une d"(dles. La r(dation
monlie que les {p — i) autres seront », («), u., i a), . . ., ii^, [a). Or, aux valeurs a. II, [a), ..., iip^,{a) de / correspond, ii cause de la relalion
\ [«,(«)] = X(fO [1=1,2, ...,/,-,),
une seule valeur de X. Ainsi, Z étant donné, X n'a qu'une valeur : X est donc fonction rationnelle de Z. Il en est de même de Y, et la courbe S, décrite par le point (i , X, Y), est unicursale.
."J3. Le de":ré de celte courbe est '-• — Soit, on oflVt. l'(''(iu;ition
où /„ est iino constante arbitrairomont choisie. Elle donne les arguments (ies points d'intersection de la coiirhe S avec la droite X =X(/o).
Cette équation, à moins que <o n'ait des valeurs particulières, ce que nous ne supposons pas, n'a pas de racine commune avec l'une ou l'autre
des équations
de plus, les éijuations
n'ont, abstraction faite des multiples de oj, tîcj , d'autres solutions communes que les quantités
L'équation X(i) = X(('o) admet (ont d'abord comme racines ces/j quantités, qui sont différentes, puisque Z' [?/,(/„)] n'est pas nul, et qui sont des racines simples, puisque X' [îf,(Zo)] n'est pas nul.
A ces/? racines correspond la même valeur V(?„) de Y.
Soit ('„ une autre racine de l'équation X(/) = X(/„); les quantités l'o, Hi(t'(,), .... Up\K\) seront des racines; elles diffèrent entre elles, et sont
des racines simples pour les mêmes raisons que les quantités /„ (//,, (/„);
de plus, la valeur ¥(('„) de X, qui correspond aux p racines r„, //, r„\ . .., Up-i (('„), difiVi'c de Y(^u). On ne peut avoir, en effet,
en même temps ((iie
que sir„a l'une des valeurs ?o, «,(/„), . . ., iip^,{t„), ce qui n'a pas lieu, puisque les quantités ;„, ... sont des zéros simples de la fonction X(/) — X(7o)- On voit ainsi que les [n — k) zéros de cette fonction, compris dans un parallélogramme lo, ruo', se partagent en groupes renfermant chacun p zéros distincts, et (jui diffèrent des zéros des autres groupes. Aux /> zéros d'un
même groupe correspond une seule valeur de Y(/), et les ^ valeurs ainsi
.obtenues sont différentes.
lien résulte que la droite X ^=\>to) coupe la courbe S eu '■ poinis
... , , . t . /t — /. tiistinets; cette courlte e.'^t uonr de dcirre
Discussion générale.
3i. Il nous reste maiuteuaut à reconnaître si une courhe S. ri'i^iésentee par des équations de la t'ornie (G"i, est de degré ri et de genre un.
La considération des étjuatious fondamentales va nous pernu'tire de résoudre cette question.
Il a été démontré plus Iiaut que. dans le cas ofi la courbe S est de degré /i, la fonction Ai .r,, .1%, .r, ) n'est pas identiquement nulle, et (|u'il n'existe aucune relation linéaire et liomogèue ideuti(iue entre les n fondions Xr,, Ar,. A r, :,/;../; /..
Ces conditions nécessaires sont en même temps suffisantes.
Si, en elïet, la courbe S n'est pas de degré /i, on se trouve dans un des cas particuliers examinés plus haut.
i" .r, (/j, .l'o^/), 0^3 (^) ont des zéros communs; en ce c;is, on a vu ([ue la fonction l[.r,,x.,,X:,) est nulle identiquement.
2° .r, (i), .ro(/), ir3(/) ont X' zéros communs, et les équations \ ii > = \[t , \[ri] = V(;^ sont vérifiées simultanément, (juel (jue soit /, pour /> valeurs de II comprises dans un parallélogramme o, //<■>'. On ailmrl, de plus. (|iie les fonctions \ t et Vi/) n'ont pas de systi'me de périodes |)lns simple (jue le système m, no>' .
En ce cas, si /■ n'est pas nul. A est ideuli(|ueinent égal ;i /.eio comme prccédenimeul. Il en esl de même si /• est nul.
Admettons, eu ellet, (jue A ue soit pas nul identiquement ; on pttuira des équations i i j tirer les équations (12) et (i'j). Dès lors, eu veilu du raisonnement du n" 21, la C(mrbe A = o a un point multiple d'ordre // — r en tout point multiple d'ordre />' de S. Or, ;i I(M1( pi)int de S coi'respoudent /> arguments, /, iijl;, ...,ii^,,t , et, [lar suite, tout [xiint de S [leul être considéré conimi' un point multiple d'ordre p, et l'on aura
la courbe 1 = o étant une courbe unicnrsale de dcijré -• La l'onction A sera.
d'après ce qui précèdi', (livisihlc pari''"', et l'on aiii'a identiquement
A, étant un polynôme de dei;ré 3 en .r,, .r^, ^"3.
Remarquons maintenant qu'à un point doulde de la courbe 2 = o correspondent 2/j arguments de la forme /, ",(0' •••» "/)-)(0! '» "i(^')' •••' np^ [t'); un tel point est donc un point multiple d'ordre ip sur S, et, par suite, d'ordre 2/> — i sur A. Il résulte de l'identité précédente que ce point sera un point simple de la courbe A, = o.
Cette courbe est donc une courbe adjointe de 1. Or une courbe unicursale n'a pas de courbe adjointe dont le degré soit inférieur au sien de trois unités [car une courbe adjointe de degré m — 3 passant par les;^//; (m — 3) + i points doubles d'une unicursale de degré /« couperait cette courbe en m{m — 3)4-2 points] ; il en résulte nécessairement que la fonction A, est identiquement nulle, et il en est dès lors de même de la fonction A.
3" Les fonctions X(/) et Y(^) ont un système de périodes w,, oj',, plus simple que le système o), «co', sans que les équations X(m) = X(^), Y(m) = Y(/) aient dans un parallélogramme 0^,0/, d'autre solution commune que la solution u = /.
En ce cas, si le parallélogramme w, «w' équivaut [\ p fois le parallélogramme co,, oj, , la courbe S est une courbe i, de genre un, de degré -»
comptée p fois. Cela résulte immédiatement de la discussion des n"* 17 et 3(J.
On aura, comme plus baut, identiquement
la courbe de degré 3, A, = o étant une courbe adjointe de i.
De même,/'.,, .. . , f„ étant les fonctions définies au \\° 15, on aura
94, . . . , o„ étant des polynômes de degré 2, qui, égalés à zéro, sont les
équations de courbes adjointes de i.
Or nous verrons plus loin que l'équation générale des courbes de degré m — 2, adjointes d'une courbe de degré m et de genre un, est de la forme
0=1 ai C, -H 312^2-1-. . .+ 3<,„C„,,
a,, . . . , y.,,, étiint des constantes, C,, . . . , C,„ des polynômes de degré m — -i en ,r,, x„, x^.
Il en résulte que les n fonctions
sont liées par n relations linéaires et homogènes, et il en est de même
J' des lonctions
:}."). Par conséquent :
TiŒor.KMi".. — l'iHtr (j'AC la courbe rx'prcsentce jnir les ('//lut/ioris (Gj soi/ de dei^ré n, il faut et il suffit quil ne liste aitciine relation idcnli/iite en .r, , .v.,, ,f., )
de la forme
(7,,c, A -H (7o./-o A + rtj.i'iA -t- ci-^f; -<-...-)- a„/„^ i),
rti , ... c'/r//(/ f/('.v constantes.
Il résulte de ce (|ui précède que, si la courlje est de degré //. elle si'ra également (le genre un.
Conséquences géométriques-
'M^. Soit S une courbe de degré // et de genre un, définie |)ar des éciuations de la forme (6); désignons par «^ le nombre de ses points doubles, par a^ celui de ses points triples, etc.
On a, puisque S est de genre un,
ou
2f/, + Cr/j -t- . . . -Hy>(/; — \](i i,z=: n{n — 3 ).
La courbe A, dont nous avons appris à former l'équation, est de degré /; — 3 et a un point multiple d'ordre p — i en tout point mulli[)le d'ordre/^ de S; elle a donc avec Sp{p— i) points communs en un tel point, et l'équation précédente montre (|ue A ne cou|)e S (|u'au\ points multiples lie cette dernière courbe.
Il en résulte ()ue la courbe A est unicpie; car, s'il existait deux courbes
lidjointes A ^ o et A = o de degré /; — J, la courbe
(lù a et y.' sont des constantes, serait également une courbe adjointe, et Ton pourrait la faire passer par un point quelconque de la courbe S, (ju'elle couperait ainsi en /i[n — 3i + r points, ce qui est impossible.
