La coui'lie de degré n — 2 dont l'équation est
C ^A(oii.r,-!-o),j,-t- 0)3.^3) -1- (.)i /i -t- . . . -h 'j)„/„=o
co,, . . . , cij„ étant des constantes arbitraires) est une courbe adjointe de S.
Réciproque/nent, toute courbe adjointe de degré n — 1 a une équation de cette forme.
Remarquons d'abord que les arguments des mn points d'intersection avec S d'une courbe quelconque de degré m, /{oc^, Xo,.r.^) = o, sont donnés par
l'équation
o=/(A,P, + ...+ A„P„,DJ>,-f-...,C,P,4-...),
et l'on démontre sans difficulté, comme au n" 3, que cette équation a dans un parallélogramme co, «to', mn zéros dont la somme, à des multiples près
des périodes, est - — (oj + nw ).
Soit C une courbe adjointe quelconque de degré n — i\ elle coupe S aux points où cette courbe est coupée par A et en /; autres points, dont les arguments ont pour somme, à des multiples près de w, m»' , la quantité
( ',i + n OJ j ( r,) -H /i 'jj ) ,
c est-a-dii'c
(3n peut donc tliéorème IV, n" 6) former une et une seule fonction de la forme w, j;', [t) -h . . . -\- oj„.r„(/), ayant ces n arguments pour zéros, et, par suite, la courbe adjointe de degré /i — 2, dont l'équation est
o = C = (',)|.r,H- oi,.r2-f-o)3.r3) A -(- oi; /j + . . . + oi„/„,
coupe S aux mêmes points que la courbe C. On en conclut iinmédiatement (|ue les courbes C et C sont identiques.
( 45 ) ;!.S. On a troiivo (n" l.")") les relations
A[.r,(/)...],ri(o = y;[-'-,(/)---],
A[.r,(r)...].r,(0-r.-,(0=A-,[.r,(0.--], l[.r,(t)...].rl(l) =/.;[.,',(0...],
On (Ml déduit
o=/;[,r,(0---]./U-^-i(0---]--i[-'-i(0---]./;3[^'-ilO---J-
(l'est là une relation de degré 2[fi — 2) entre •»:■,(/), a".(/), j:'3(/), c'està-dire entre les coordonnées d'un point quelcon(|ue de la courbe S; si donc on désigne par S le premier membre de l'éciuation de cette courbe, on aura identiquement. (|uels que soient x,, Xo, x^.
MVi
de même
''•,5. 'j-, 1' • • • étant des polynômes de degré // — 1 en .r,, .iv,, ■r^.
Ola posé, soient deux courbes adjointes ([uelconijues, de degré n — 2, C, etC,,
G, = A{'.i,.r, -H (,.2.r,-H 03. rj) -1- 0);/^-)-. . .-h o)„ /„ = o,
G2= A(f,)', .r, + ) + &i';/iH-- --H «'„/„ = o.
On a
C,C, = A[A(',j,.r,-T-...)(',/,.r, +...) + (o), a-, -t-...)(w;/4 4-...) + (01', J:-,-^...)(fn./4 +•••)]
-H W; '.) i /l -+- {'j>i Oj'- 4- 0) ; OJ5 ) /i /; + . . .
OU, en remplavanl /j', /'i /g, ... par leurs valeurs tirées des relations (R),
; C,C,= Ai„+SG„.
(S) ( On Irouverail de même
( G;=a:s„+sg,„
(i,2. G,, sont des polynômes de degré n — 4; ^î,,, 1,, des polynômes de degré n — r en »■,, .r^, .r,.
De plus, les (■(nirhi's l,., = o, 1,, = o sont dos courbes adjointes de S, car on a. |iai' exemple,
1,0= A(0),.r|+. . .)('-■>', ■'■! + ■ • ■) + (f.ii.ri-t-- . .)('^i4./'v + - • •) +• • ■-\- ''>'.'•>[ /;■. + ■ ■ •.
cl l'on sait ([ue les courbes A = 0,/^ = o, ... ,/■,., = o./ij =0, ... sont des courbes adjointes de S.
La relation
C,(:, = Ai,,-HSG,2
montre, en outre, que la courbe -,2= o passe par les 2/1 points, autres que les |)oints doubles, oii C, et C2 eoupent S : il n'y a évidemment qu'une seule courbe adjointe de degré // — i l'emplissant ces conditions.
('<ela posé, on déduit aisément des relations (Sj les résultats suivants :
;59. Soient
(]| et C. deux courbes adjoiiites ({uelconques de degré « — 2;
1,1 la courbe adjointe de degré // — i qui toucbe S aux n [toinls, autres que
les points doubles, oîi C, coupe S; 1,., la courbe adjointe de degré /i — 1 qui coupe S aux 2n points, autres que
les points doubles, où C, et Co coupent S; A la courbe adjointe de degré n — 3.
i" Il existe ii/ic comité G^.. de déféré n — /|, passant par les points, dutirs (pic les points doubles de S, où C, et C^ coupent A;
2" La courbe i,, coupe Q^^ en [n — i){n — '\) points : la moitié de ces points est située sur C, , P autre moitié sur C^ ;
î" // existe une courbe G , , , de degré n — [\, tangente à A aUuV pouUs. autres (pie les points doubles de S, où G, coupe A ; les courbes (j, , et A sont ainsi tangentes en tous lents points de rencontre;
4° ^u touche la courbe G,, eti tous ses points de rencontre avec elle; ces points sont situés sur G, .
Les tbéorèmes 3" et 4" sont des cas particuliers des tbéorèmes 1" et 2".
10. Ges tliéoi'èmes donnent des propriétés de la courbe A; ou peut en detluire les conditions nécessaires et suf/isa/itcs pour f/ue ' n[/i — 3) points d'un plan soient les points doubles d'une courbe de degré n, de genre un ( ' ).
(') M. Ilal|il}en a U'uiLc ccUe quoslion pdur la cuurlic du si\ii'nii.' indrc ( Dullriin de lu Snaelc iiinllicniatiqiic de France, t. X, p. 162).
Ces conditions sont los suivantes :
Soit A I;i courl)c do dci^ré /? — 3 (|ni passo par les In'n — 3) points donnés, cette courl>e doit être unique et n'avoir de point nuilliplc i-n aucun de ces points.
I " Toute courbe C de dcf^rc n — 2 passant par- les points donnes coupe A c/i |f« — 3 : ;'/? — 4) points : if existe une courbe G, de degré n — 4' touclianl A en ces points ;
2" La courbe C coupe G en ^{n — 0 {n — [i) points non siluc'ssurl : i/erisie une courbe i, de degré n — i, touelnint G en ces points, et passant par les T.n'n — 3 points donnés.
Ces conditions, (|ui reviennent aux propositions des thénrèmes i" et a", sont nécessaires : je dis ([u'elles sont sullisantes. Soit, en effet, la courl)e ayant pour équation
où 7. désigne une constante arbitraire. Cette courbe de decré in — 1 est évidemment tangente à G en i (7? — 3; « — 4 i points situés sur A, et en r, (n — i) [n — 4 ) points situés sur 2!, puisqu'on suppose vérifiées les conditions i" et 2"; on ])eut cboisir 1 de façon qu'elle passe par un point arliitraire de la courbe G, (|u'elle coupe ainsi en
c'est-à-dire en (« — 4' (2/1 — 4) ^- i points : elle se décompose donc en
deux courbes dont l'une est G et l'autre une courbe S, de degré n. On a
ainsi identiquement
(?+/,Ai = GS.
La courbe G ne passe par aucun des ~n[n — 3) points donnés, car elle ne rencontre A ([u'aux ^ , /; — 3 (// — 4) points, auties (jne les points donnés, où C coupe A. Il résulte dès lors de l'identité précédente (|ue la couriie S admet les ^n(n — 3) points donnés pour |)oints doubles.
