Reprenons l'identité

ce A '^ — sr.

Soient T = o. T =u les tangentes ii S en un de ses points ddublrs:

soii'iil

T,,=:^T + fl,,T' = 0,

Tg = ï + «5 T' = o, T,i = T-j-f/,,T' = o

les tani^entcs en ce point aux courbes C,, C^, i,,,, A et i,,. Si l'on prend pour axes de coordonnées cartésiennes les deux droites T el T', il viendra. en égalant à zéro les termes du second degré dans l'idenlilé précédenli',

A(T + aj') (T ^- a,T) + B(T -\- a^T) (T 4- a,,T) = CTÏ',

A, B, C étant des constantes; on en déduit

A H- B = o, Af?,f/2 -t- B<75a,.> = o,

d"où

a. a, a..-, a,a.,^a^a,i ou -^ — =i

ce qu'on peut énoncer ainsi :

Le /(ipporl aiihannoni(]uc du faisceau (ï, Tg, T', T.o) est égal ait jUDtlnil (les rapports anharni<>ni<pies des faisceaux (T, Tg, T', T, ) et (T, Tg, T', ']'.. ).

De même :

Le rapport anhannonique du faisceau (T, Tg, T', T,,) est égal au carre du rapport anliar/noniquc du faisceau (T, Tg, T', T,).

ri. Si le point double considéré sur S est un [)oint de rebrousseuient,

les tbéorèmes précédents sont illusoires.

Soient

T =; o, la laiigenle tic relM'ousst'nKMil,

Tg t= o, la tangente à A au point tic relironsseiiienl,

T, =^Tg4-7, T = o, » C, »

T., =: Tg + /., T = o, » C, »

T,, = Tg+>.,,T r=o

12 i 0 ~1~ l-li ^ — "> " -—n

T,i = Tg +>,,,T =o, » i,, »

On trouve aisément, en opérant comme plus liaul.

( 49 ) Par conséquent :

Fm somme des nipporls a/i/nirmon/f/Ufs des faisceatt.r T,-, T,, T, T,, el (Tç, T., T, T, J est égale à l'urulê.

Le rapport anharmon'upiv du faiseeau (Tj. T,, 1", T, , ) est è'g(d à '..