DEUXIÈME PARTIE
Intersection de la courbe de genre un et d'une courbe algébrique.
43. Soit une courbe algébrique quelconque de degré w,y( a",, a:-o,j:.,) = o. Les arguuieuts de ses mn points d'intersection avec S sont donnés par l'équation
qui a, dans un parallélogramme (w, tum'), mn zéros dont la soninie. à des multiples près des périodes, est égale a -7- (oj -1- noi ). On trouve aisément, en se reportant aux relations (3),
(29) Posons
on aura
(39 bis)
( f{t + mnui\)z^f{l)e
et par coiisé(|uent (théorème \) /[() est (onction linéaire et liomogène des mn fonctions II,, . . .. II,,,,,,
Hl =03(^03,'^
' itin m
L'équation qui donne les arguments des points d'intersection d'une
ooiirhc lie degré ni avec S peut donc se mettre sous la l'orme
(oo) j\t) — (y,n, + «.,11, + . . . + rt„,„n„,„ = o,
(i , a,„„ étant des constantes.
i3 his. D'après ce ([ui préci'de, on peut dire que :
La somme des arguments des rnn points d'interseclion de S et d'une
coUrbe de degré n est égale à — '<o ^- //o/), h des multiples pri's de o, not' .
Si la coui'Ite de degré ni est la courbe adjointe à S de degié n — 'i, on voit ([ue :
La somme des/*'// — 3) arguments qui correspondeni aux -,n{rt — 'i)
points doubles de S est'- ; (o -^ /a./ , ii des mulliples pii's de cj. // '«'.
44. Inversement les nin points de S dont les arguments vérifient une équation de la I'oi-iih' précédcTite ( So') ne sont pas toujours sur une courbe de degré ///. (À'rtaines conditions doivent être satisfaites par les coel'licienls c/,, a.^, . . ., pour qu'il en soit ainsi.
Nous distin.iiuerons deux cas, /;? <^ n et ni n.
Si ni est inf'éi'ieur ;i n, les i'onctioiis de la l'oi'ine
(|^, 7^, f/i étant des entiers non négatifs cb' somme m, ne sont liées par aucune relation linéaire et bomogène (sinon, la courbe S serait décomposable); et, comme ces fonctions vérifient les relations (29) et (2() bis }, elles s'expriment linéairement ;i l'aide des fondions II|(/), n^(/), ..., U,„J t). Leur nombre étant do ', /// -+- j ) 'jn -+- i>), on pourra exprimer
di's fonctions H, en l'onclion linéaire ib's nin — !- \ ni -i- \)\ni -+-2; autres foui-tions II et des fonctions .ï-'[' .r'I; .r'[' : si nous portons ces valeurs dans ré(|uation (2()), (;t si mnis écrivons ([ue les coefficients des fondions |[ restantes y sont nuls, nous obteiums
/n/i — l{/n -+- i) (m -h 2), ndations linéaires et bonmu'èm'S entre a,, a,, . . ., a
m ri
Si m est égal ou supérieur à //, les fouctions ,r'[' xl' xf{q, -+- (j-^^']^ = m) sont liées par des relations linéaires et homogènes : soit o,„ = o une de ces relations, on aura identiquement
'},„„ étant un polynôme de degré m — n en ^'i, x.-,, x^.
Il y aura donc entre les fonctions x^^xl^xl^xin nombre de relations linéaires égal au nombre des coefficients de '^,n-„, c'est-à-dire ^(m— « + i)(//; — /?-(-2), et le nombre de ces fonctions linéairement distinctes sera
i ( //( -4- 1 ) ( /« -r- 2 ) — I ( /» — /( + I ) ( /» — 11 + 7.) ou
nin — i/i(« — 3).
On en conclut, par le raisonnement appliqué plus haut que les coefficients «|, a.,, ... de l'équation (3o) devront satisfaire à Tji[n — 3) relations linéaires et homogènes, pour que les mn points de S, dont les arguments véi'ifient celte équation, soient situés sur une courbe de degré m.
Remarque. — Pour m ^ « — i et m ^= /i — 2, le noml)re
est égal h ^n{n — '^), c'est-à-dire au nombi'e des relations trouvées pour m^ n.
45. Clebsch a mis ces relations sous une forme importante au point de
vue des applications (').
Soit
l'équation d'une couriie quelconque de degré /«, et /(/) la fonction
Désignons par (f,, e\), [e.,, e'.,), .. . les arguments qui correspondent aux points doubles E,, E^, ... de S.
(') Clebsch, Journal de Crclle, t. 6i, p. 23o.
On a, par hypothèse,
et, par suite,
c'est-à-dire
/ie\):.,-'l'{e;)=fic,):.r'l'(e,).
Si donc les /un points, dont les arguments véritient l'équation (3oj. sont situés sur une courbe de degré m, les r/irt coefficients de cette équation devront satisfaire aux relations
16. Les relations (3i), que nous appellerons les équations de Clehseh, sont nécessairement vérifiées quand les /n/> points de S, dont les arguments satisfont à l'équation ./(/) = o, sont situés sur une courhe de degré /;/; je dis maintenant qu'elles sont suffisantes.
Poui' le démontrer, on s'appuiera sur une interprétation géométrique qu'on peut donner de ces écjuations.
47. Lemme. — Les ntn pm/ils de S. dont les ai 'juments }-crificnl une ètjiuilioti de la forme (3o), /(/) = o, sont situés sur une courbe adjointe F, de deifré m -\- n — 3.
En d'autres termes :
, , , , nui ,\'i
mn points de S. dont les ar^it/nents ont pour somme ^ ( w -t- /k.j ). a des
multiples prés de w, hm , sont situés sur une courbe adjointe à S, de degré m -\- n — i.
Supposons d'abord qu'aucun de ces mn points ne coïncide avec un des points doubles de S.
Une courbe adjointe, de degré tn -h /t — 3, cou[)e S aux points doubles et en mn autres points, dont les arguments ont pour somme, à des multiples près de <o, no)', la quantité — (oj-f- n^'), ainsi qu'on le voit aisément {n"i^bis).
Cette quantité est précisément la somme des mn zéros de la fonction /\t , contenus dans un parallélogramme o, ni<>'.
Un des points (riiilcrsoction de S et (rime courbe adjointe est donc déterminé par les autres; ces autres sont arbitraires, car on sait que, parmi les points d'intersection de deux courbes, l'une de degré /?, l'autre de degré m -\- n — '^ passant par ^«(« — 3) points doubles de la première, le nombre de ceux (jui sont déterminés par les autres est, au plus,
c'est-à-dire i (' )•
Il en résulte que, étant donnés, sur S, mn points quelconques, différents
des points doubles, et dont les arguments ont pour somme ^(w -i-/;oj'),
c'esl-à-diie mn points, dont les arguments vérifient une équation fie la forme (3oi, on pourra faire passer, par ces points, une courbe de degré m -I- « — 3 adjointe à S, pourvu que le nombre des conditions auxquelles se trouve ainsi assujettie cette courbe, c'est-à-dire le nombre
l /i(n — 3) -{- mn — i ,
soit inférieur ou égal an nombre des conditions cpii délerniinent une courbe
de degré //i + /; — 3, c'est-à-dire à ■ [m -h n) : or, cette inégalité
étant vérifiée, quels que soient les entiers positifs w et n, le lemme est démontré.
48. Cela posé, soit F = o l'équation d'une courbe, de degré //i + « — 3, adjointe à S et passant par les /nn points de S, dont les arguments vérifient une équation/(/!) — o de la forme (3o^. Si m -+- n — 3 est égal ou supérit'ur à n, c'est-à-dire si w: 3, il y aui'a, pour une même équation /{t) = o, une infinité de courbes F ayant pour équation générale
(F) F=.F„ + Sll,„3,
F„ = o étant l'équation de l'une qiudconque d'entre elles, et R,„., désignant un polynôme arbitraire, de degré /?i — 3.
Les courbes F ont un point simple en cliacun des points doubles de S, puisqu'elles coupent la courbe S en ses ^«(« — 3) points doubles et en m/1 autres points, distincts des précédents, par bypotbèse; il résulte de
(') Clebscii, Lcrii/i.r sur la Gcoiiic'/ric, Traduction Beiloist, t. II. [). i3o et suivantes.
( 55 ) l'équation (F) que toutes les courbes F qui correspondent ;i une même équation f ,t = o se touchent en un quelconque des points doubles de S. Soient
A(j7,, X.,, x^) = o l'équation de la courbe, de degré n — 3, adjoinle ii S; A(f) la fonction A[.r,(/), ...]; F(«) la fonction f\x^{t), ...].
En décomposant cette dernière fonction en un produit de fonctions 0, un obtiendra évidemment la relation
