F(0 = AA
A étant une constante.
Supposons vérifiée une des équations de Clebscli
Si Ton prend pour les axes r, = o et x^ = o les deux tangentes à S, au point double >, e'\ r, = o étant la tantrente à la branche c et x,. -.= o la tangente à la branche e', on aura, en ordonnant F et A par rapport aux puissances décroissantes de a-,,
F(,r,,x„ .rj) = /,(a-, + ax^).r"^-"-'^{,!.r\ -^. . . j.,-™^"-'-!-. . . . ^{,x^,x,,x.,)—'^{x,-^bx-i)x'\-'' 4-
A et \}. ne sont pas nuls, puis(jue les courbes F et A ont un point simple en tout point double de S.
Or, d'après la relation (32), f{c) est la limite vers laquelle tend la fonction
quand s tend vers zéro, c'est-à-dire, en négligeant les ternies du second ordre en x-, et r.,, la limite de l'expression
Mais x^\e^ -t- e) est infiniment petit par rapport ii x^{e -^ i . puisque la droite x^ = o est tangente à la branche e; il reste ainsi
( 56 ) De niriiie
A fi
<'t la relation ['i\) donnera
Par conséqnenl :
Si l'équation de Clehsch, relative à un point double, est vérifiée, les courbes F rt A .se louchent en ce point.
Telle est l'interprétation géométrique qu'on peut donner des équations de r.Iêbsch.
49. Cela posé, supposons toutes les équations de Clebsch vérifiées par une fonction f[t) de la forme (3o).
Les courbes F correspondant à cette fonction et la courbe A sont tangentes en T.n[n — 3) points, qui sont les points doubles de S; en d'autres termes, on peut dire que l'une quelconque des courbes F passe par les points d'intersection des courbes S et A; on pent donc (Clebsch, Leçons sur la Géométrie, traduction Benoist, t. II, p. /p et suivantes) écrire identiquement
F = AA-hBS,
A étant un polynôme de degré m et B un polynôme de degré m — 3, en a,, ■x-., , œ^ .
On conclut immédiatement de cette identité que les points d'intersection de la courbe F et de la courbe S, non situés sur la courbe A, c'est-à-dire les mn points, dont les arguments vérifient l'équation /{t) = o, sont situés sur la courbe, de degré m, A = o.
Les équations de Clebsch sont donc les conditions nécessaires et suffisantes, pour que les mn points de la courbe S, dont les arguments vérifient l'équation /■(/) = o, soient sur une courbe de degré m.
50. Remarque L — Nous avons admis, dans ce qui précède, qu'aucnne des quantités/(f ) n'était nulle. Si l'on avait/(e) = o, on aurait également, en vertu de l'équation (3i), f[e') = o. Supposons donc que l'on ait ./(^) = o, /(e') = o, e et e' étant respectivement des zéros multiples d'ordre p et q{p, 7^1), de la fonction /{t).
Considérons nne fonction /i(/) de la même forme qnc f[l . ayani poiii-
( 37 ) zéros multiples, d'ordres/? et q, les quantités c 4- e, e + s, et s'iiUMulanl pour les mêmes valeurs de t que ./'(')' 't's valeurs c et c' exceptées.
Si les équations de Clebscli sontvérifiées parla fonction /,(/), les////; points de S, dont les arguments sont les zéros de cette fonction, sont sur une courbe de degré m, et il en sera de mémo à la limite, quand i et s seront nuls.
En ce cas, l'équation
f{e)\.r"'Ke)~f(e'):x'['yc)
est vérifiée identiquement, piiis(jiie /(c 1 et /^^r) sont nuls, et il suffira que les \n{n — 3) — r autres équations de Clebscli soient également véritiées, pour que les mn points de S, dont les arguments annulent /'(/), soient situés sur une couibe de degré m, passant pai' le point double V, c') et avant en ce point avec S [p -\- cf) intersections confondues.
En général, si la fonction ,/(/) admet pour zéros les k (•ou[)les de valeurs ("1 , r,, (%, f!,, ...,C/,,('/, (|ui correspondent à /' [toints doubles de S, le nombre des équations auxquelles doivent satisfaire les coefficients de celte fonction, pour que les //;// zéros de /'(/) soient les arguments de points de S. situés sur une courbe de degré m, se réduit de /• unités.
,")!. Remarque II. — Si /// est inférieur ou égal ii n — '^, nous avons vu que le nombre des relations auxquelles doivent satisfaire les coeftieienis de /f/i, pour que les inn zéros de celte fonction soient les arguments de points de S situés sur une courbe de degré m, est
En ce cas, il n'y aura que nin — -,{m -\- \){r>i -\- ■i'\ relations de (llcbscb linéairement distinctes.
■ri. Remarque III. — Si le point douldc (f, f) est un point de rebroussement. il faut, dans l'équation
faire e'= e + t, et faire tendre e vers zéro. On trouve ainsi
.i3. Remarque IV. — D'apri's le lemme du n" 17. les ///// points de S II. 8
( 58 ) dont les argiimenls vérifient une équation de la forme
(3o) «iii, + fl.n, + . . .-^«„,„n„,„ = o
sont. (|uelles que soient les constantes «,, «^. ..., r/„,„, sur une courbe adjointe de degré m -+■ n — 3, dont l'équation sera évidemment de la forme
(33) n = <7iR,4-o,R, + . . . + ff„,„R„,„ = o.
11 en résulte qu'à toute propriété analytique de l'équation (3o), c'està-dire à toute forme de cette équation, correspondra une forme de l'équation (33), et, par suite, une propriété des courbes adjointes R.
C'est dans ce sens que la résolution du problème suivant donnei'a lii-u à une série d'applications géométriques, qui vont nous occuper maintenant.
Problème.
ôi. (Considérons l'équation
(3o) «,n,(M ^ rt,n,(n -)-. . .-^ «,,n,,(o = o = /'(o.
oii l'on a posé
Uj^i{i) = oJt^J-^, '„, 0,', j,
p'j)', =: II',)'.
Soit
/■, r,. I , /y étant des entiei's positifs.
Cherchons quelle doit être la /orme du premier membre de l'équalio/i, pour que :
i" A- des zéros de cette équation soient des quantités données l/,, .... />^;
2" Les autres zéros se partagent en q groupes, comprenant respectivement /, . l... . . . , /y zéros distincts, les Ij zéros daf'""' groupe étant multiples d'ordre r^ et
ayant une somme donnée Sj.
il est bien entendu qu'il s'agit des zéros compris dans un même pai'alielogramme (o, «c/, ou ^o,po)\.
.■)."). SoionI r,, r^ 0/ les /, zéros (roidfc /■, du premuT groupe;
g,, g^, .... g/^ les /y zéros d'ordre r,^ du c/""'*' groupe. On ;iura i Uiéorèuie 11 ;
A, + . . . -;- /*/ H- /■,.?, -h /•j.ï;, -î- ...-(- /■,/.'!,/=z — (01 -)- /)0)'| ) -h Aoi -^ /;/(''j
// el // étaut des entiers.
Si l'on pose, poui' ahréger,
r.ii — i'a-i-i)-j-.2'j.-ii —
on aura évideninient, A étant une constante.
Posons
.i(0 = A9,(<-6,)...^A(/~^/.)^' Il vient
Oi' la fonction f/f satisfait aux relations et, si l'on [»ose
( 6o ) les relations précédentes deviennent
Fy(<,-t-w):^F,(<,),
La fonction Fy(^) est donc fonction linéaire et homogène (théorème I des Ij fonctions
et, par snite, /j{l) est fonction linéaire et homogène des Ij fonctions <f^, fi"j, ..., t(dles que
I ■ \ ri '•fJ JJ 1 •' / 'JJ «
On a ainsi
./}(o = -ii?;-(o + -^2?;(o-
Les zéros de fj[t), c'est-à-dire les Ij zéros d'ordre /•, du y""""" groupe, ne sont assujettis par hypothèse qu'à la condition d'avoir Sj pour somme; les constantes -/i,, r,.,, ... sont donc arhitraires.
De là résulte la forme cherchée de /(/)»
(35) /( 0 = 'HO [«i?',-+-<^2?'',+-.-+=t/, 9'''']''' [P'?2 +•••]'■'••• [^\ ?;,+•••+ %Vv'']'>' «.,, ...,tf étant des constantes arhitraires.
56. La relation précédente montre que /(/) est une somme de termes de la forme
•IV a, V v,,(o='Ho?f ■•.?';■'"'...?;'.. .9;;''%
u., [j.i^ étant des entiers non négatifs de somme i\, ...:
V v^ étant des entiers non négatifs de somme r^.
Les fonctions (i>it) satisfont, comme on le voit immédiatement, aux relations
(2) <ï»(< — /Ji)',) = <5(<)e '''m '"'•'to,
et sont, par suite, des fonctions linéaires de n,, ..., n^. jNous écrirons généralement, sous forme symbolique,
(35 bis) /(t) = (oc,. X,. . . ., a/,)''. . . . {ot,o,, ô,^)'-,.
57. Remarque I. — Si une des quantités /, /, , par exemple, est éi^ale a 2, on a (34)
On trouve aisément les relations
A étant une constante.
Les fonctions 9'//) etojf/; ont deux zéros dans tout parallélogramme w. pu>^ (ou (o, /îw :, et la somiue de ces zéros est :?,, îi des multiples |)rès de w. /j(o', . On a ainsi
2/t:/ ?i(0= 5,(<— f,. '->./? w',) 5,(i — i, -)-c,, r,,. /j'^ile"^^;
on en déduit
^ ' ' J el, de même,
l (»;(5, -o = ?;(Oe'-'
Ces formules nous seront utiles plus fard.
