Remarque II. — Si l'on a à la Cois

^1 zn .Çj . . . Sq'y

(f L'tant inférieur ;i y, la fonction f\j) [équation (35)] prend une iornie \\\\siniple.

En ce cas, en effet, y',,/, y^' sont fonctions linéaires et liomogènes

des deux fonctions o', et o", de la remarque I.

On a ainsi

J\l) = 'KO [=^, ?; - =<.?'l]''- [5, o\ -^ %o\Y. . . . [y.o; + ■l-ii'xY'^' ■ ■ ■ ou , puisque r, = /■„ = . . . = /y,

/(0 = ^i>(0[=<i3, ...7,9f+---+^2.So ...y.of]''' ....

I.a fonction entre crochets est un polynôme homogène, de degré </', en

o, et o",; les quantités a,, [3 , y, étant arhitraires, il est clair, d'après la

formation même de ce polynôme, (|ue tous ses coefficients sont également arbitraires et, en posant

on auia

ou, symboliquement,

{i%bà) /(l) =z{p,. j>. ■ ■ ■■ j^,/+i)' ■ ■ ■ (oi- ■ ■ ■,ô/^r.i.

/),. /jj, . . . étant arbitra' ''t's-

Applications.

.59. Les résulta'^ analytiques obtenus aux paragraphes précédents pei'mettent de traiter '» question suivante.

Soi/

/j — mil = 2 A I 4- X 2 + /■,/,+...-!- r,, l,,.

( «3 ) T/oiHcr /'cf/ua/io/i ge/iera/c (/es courbes, de degrc m, f/i/i /nissc/i/ /m/ l, /mi/Us doubles et k., points simples, donnes sur une courbe S, de degré n et de genre un. et qui ont uk-cc cette courbe en l j points, dont les arguments ont une somme donnée Sj, un co/ituet d'ordre /•, — i (y = i, 2. .... (j).

SoiL'iit /(.<•,. .i\, ,r.j I = o l'(''(jiiati(in générale chorcliéc. et /' /) la rinididii /'[r,:'/), ... |. Cette fonction est fonction linéaire et homogène de \\,t\ IIo(/), .... \l,,{t) >i" 43), et pent se mettre sons la forme [équation [V) \

fit) = 'i ( 0 [^, ?; -H ■ • ■ + s:/, ofY' . . . [o, ?; -^ . . . + %o;^'']'v

on, en développant,

(39) /(O = i\jx,.a, V v,^::^^' ^'i' • • • o; . . . o;^'<I>;.„a,.

-\y . ... étant nne constante ;

■j.., a.,, ... des entiers non négatifs do somme /■ :

V V, des entiers non négatifs de somme/;,;