y..., .... <^,, ... des constantes

Mais ces dernières constantes ne sont pas arbitraires, comme l'étaient les constantes analogues de l'équation générale (35); en effet, les nui points de S, dont les arguments annulent /'(/), sont situés, par liypothèse, sur une courhe, de degré m, passant par/', points doubles de S, et rmi aura. par suite, entre a (5,, ... des redations de la fcuiue

(4o) •l{e,)[y., 9, ( c-, )-!-.. .]'■. ... : .r',"(c', ) = •]^(c'i)[y., z/.ie,) ^ . ..]... : .<•;"((-; ). Ces relations seront au nombre de

\n( Il — 3 ) — /, , si m - n — ■?.. cl de

nin — |(;h i- i ) («; -t- t ) — /. , si m < ii — >.

Si les (|uanlités a,, -/,,, . . ., -^i, . . . vérilîent les équations (4'). 't' second membre de l'équation (39) est une fonction linéaire et lioniogi-ne des (piantités a-"''[l).r"^\l),v"^'{t), [m, -f- m, -h m., = m], et l'on a

(4i) /U) = l.r';-(l).r-^^(l).r'^Ht) i:W„^,„ ,,,„, ,v,,=('^^ï= • ■ • 0]' . . . ^''/j.

7-1 Î5,, ... étant des constantes arbitrain^s, liées par les ndations {f\o).

On tire de là l'éejuation générale clici'cliée, en remplacani, dans /'i/\

( G4 ) .r,(/), x^if), 3C3{t) par x,,.r2, ar^, et égalant à zéro la fonction ainsi ob- Icnnc.

/tcnian/i/c. — Si m est supérieur ou égal à n, on devra ajouter à la fonction /[a\, œ.,, x.j), ainsi formée, le produit SR,„„, où R,„ „ désigne un polynôme quelconque, de degré m — n en jc-,,x.,,X3.

60. Dans le cas particulier où la courbe, de degré ru, passe par tous les points doubles de S, les relations (4'>) sont des identités (n" 50), et les constantes a,, a„, .... S sont arbitraires. Par conséquent, récjuation

générale cbercbée sera donnée par (Sq) :

F^ ... est un polynôme en x^, x.;^, x.^, de degré m, et la courbe F^. ...^o coupe S en des points dont les arguments vérifient l'équation

o=<i>^„!,,, ,(<^='Mo?'r?'i

^-- .o;'...,vv

Elle passe par les Zo points simples donnés sur S et par les points doubles de cette courbe, puisque les arguments de ces points annulent