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61. Nous allons maintenant appliquer à des exemples simples les principes généraux des deux derniers paragraphes.

l'r,oi!LÉMK. — Soit

inn^rz'ikx-V- ki-\- ri et min — 2.

Trouver l' équation générale des courbes de degré tn. qui passent par li\ poin/s doubles etjî.^ points simples donnés sur S, et qui ont avec S en l points un conta cl d'ordre r — i ( ' ).

Soient*, la somme des arguments correspondant aux points fixes donnés sur S; s celle des arguments des /points de contact. On a

mil , , , , , ,

5, -I- rs ^ (f,) + n ',\ ) -t- Il 'j> -h /iti r.i .

(") Clebsch a Irailô [Journal de Crellc, t. 6i, p. 244 et suivantes) un problème analogue, mais il n'a fait que donner le nombre des courbes ou systèmes de courbes répondant à la question sans s'occuper des équations générales de ces courbes.

On tire de là pour s, en donnant aux entiers /i et //' les valeurs o, r, . . . ,

/■— I, /•- systèmes de valeurs, aux multiples près de cj, m.;'. 11 v a doue

n systèmes de courbes répondant à la question : pour les co'.irhes d'un

même système, la somme des arguments des / points de contaii esl la nicme.

Soit

/(.ri,.r,, .r^) =o

l'iMpiation des courbes d'un système. On aura, é([nation (3j),

/(O = 'MO [^. 9', + ^2 V, -^. • . + ^/'-'.'J'ai, . . . , y./ sont des constantes liées [)ar les 1^ — /,-, relations

e,,('\: Co, e'.,; .... f'5/,,, e^.i, étant les couples d'arguments correspondant aux f) — /c,- points doubles de S par lesquels ne passent pas les courbes de degré tu considérées.

Posons

il vient

(44 ) [^. ?\{ei) + . . . H- 3t,o; (e,)]' = [^, 9;(e;) -^ . . .y\%

Les J^ — X-, relations (44) peuvent s'écrire

2/.,- «, o',(t>,) H-. . .-(- x,ol\et) = A,e '' [ai9',(e', ) -h . . . + a/ o',' (c, )J,

3<2V,(e,) -^. . .-^ = Aoc '• [a, 9,(e,) -f-. . .-h ].

//, , //,, . . . pouvant |)rendre les valeui's o, 1 ,...,/• — 1 .

Kn combinant ces valeurs, on aura, puisqu'il y a ^ — Â\ ndalions. /■'- '•>

groupes d'équations linéaires et bomogènes en ■/ y./, et les sidiilions

du problème s'obtiendront en égalant à zéro les '^ — /■, premiers incinbri's des '^ — /i\ équations de l'un qnelconcjue de ces groupes.

(Considérons les écjuations d'un groupe : on en tirera la valeur île <^ — /i,

des constantes a, -// l'U l'onction linéaire et bomogène des/— tS — / ,

aniies, et l'on aura ainsi