j. .... '/, >^f^ étant des constantes quelcon(|ues
Kn roiiséqiieiico, l'équation générale clicirhée scmm de la forme
O ==./(■*'!> -^'2» -'"il ) ^^ ^'i -^r, 0,0, ...,0+ ''S^'i ^iV- 1, i,o....,o-i- ■ • • + ^J 5+/,, Ao,o, ...,o. n
•Vnii..... ••• étant des polynômes de dei;i'é m en a,, ,r^, .r., (|ui, égalés à zéro, représentent des courbes de degré m passant par les X-, points doubles cl les 1,-^ points simples donnés sni' S; on a
A,.-,,,.o.o,...[^'",(o...]--^'Mo?r'(0?2(n,
On peut donc énoncer les résultats suivants :
Soit pose
uni ^ 2 /, I + /,2 + /■/, m 1 II
Les courbes de degré m (jui passent par l,\ points doubles et h\ points simples donnes sur S, et <pu ont avec cette courbe en l points un contact d ordre r — i , se divisent en /■- systèmes : pour les courbes d'un même système la sonune des arguments des l points de contact est la même.
Cluvpie système se divise en r'''~''t groupes, et l'équation générale des eoiirhes d'un in-'nw groupe est de la forme
(46) 0 = a'i'A,.,„,o a+ i'y.\ ' a.A,. ,,|,o, ..-h. . .-4- JtJ' 5^;,^ A„, „,...,,.,
a,, y..,, ..., y.,,;^/,. étant des co/istantes arbitraires.
62. Remarque I. — Si ru est supérieur ou égal à n, on ajoutera au second meml)re de la relation '4<J) le produit SH„, „, où R,„„ est un polynôme (|ii(dconquc de degré m — n en x,, a\, .r, .
Ilc//i i/yi/.e II. — Si m est inférieur à n — 2, les équations (44) seront au nombre de mn — [ [m + i)('" ^ 2) — /■, ; il y aura ainsi dans cbaque système ,-""'-î"" + '-"" + 2i-'. groupes de courbes.
En particulier, pour /n = « — 3, ce nombre devient
63. Pour établir les résultats précédents, nous avons admis que les relations (45), appartenant à un même groupe, étaient linéairement indépendantes, et c'est évidemment le cas général. S'il en était autrement, l'équalion des courbes du groupe correspondant, tout en restant de la forme (46), renferme plus de /— f5 -H X-, constantes arbitraires.
( G; ) .XoLis allons donner un exemple de ce cas particulier. Soient
p étant un entier positif.
On aura
mil ;= //■. (l'm'i / ^ /; 0.
// s'agit (le tromer l'c(juation gcncralc des roiirhes de degré /a (ou /•: ', (/ni nul en-ec S en n^ points un conlaet d'ordre z — i .
Il y a toujours/- .systèmes de courhes répondant à la question : considérons celui de ces systèmes pour lequel la somme des arguments des n^ points
(le contact est égale a '■ — f cj -h /ao . c est-a-dire — ^ (w -+- m.» k
Les écjiiations ( |5) s'écriront
' [xt Vi(''-^) ^^-•9",('^i> +• • ■] -'■^Oii =--''" ' ' [x, ?',(c;) + . . .] :.'■•;(<?;),
Ces équations sont au nom!)re de i^, c'est-à-dire !^n{n — i). Considérons le groupe d'équations (l > Im's) pour le{|nel (in a
Il est clair ; n" 'i6) ([ue les :,//(" — '^) é(|uations ainsi considérées ex[)rinicn( (|ne les ;« zéros de la fonction
sont les arguments de pn points de S, situés sur um' courhe de degré s.
Kn d'autres termes, les courbes de degré rp appartenant au groupe considéi'e sont des courhes (|iudcon([nes de degi'é p, comptées /■ fois; ce (|iii donne liien une solution de la question.
>iais, si : est inférieur à n — :>., il suftit que /i z — r,[p -h i)(p -h 2i des é([uations iji') f>is\ où l'on a fait //, = //^ = . . . = o, soient vérifiées par les constantes a,, ... p(Uir que les autres le soient également; et par suite, ,"( loiit groupe d'é(|nations (4') /'is':, pour le(|uel //: — i ( p + i) (p + y.) des entiei's /i seront nuls, coi'ri^spondionl des coui'lies de degré p, comptées /■ fois.
Pour éliminer ces solutions, on ne devra considérer- (ine les groupes d'éciuations '\j his) où iip — ^ (p + ' ) (? -H 2) des entiers A,, //., . . . ne soni
(G8 ) is nuls à la fois; el l'on voit aisément que ces groupes sont au nombre de
,-t-o^(,.0+^^ii^(,--,)^ + ...+ ^ii=l%l(^(.,)5->.j,
("tant posé, pour abréger,
Ainsi, p étant inférieur à n — 2, le système de courbes de degré /-p, j)Our leijuel la somme des arguments des «p points de contact est égale
à — (lo -+- /no'), se décompose enNgroupes; l'équation généraledes courbes
d'un groupe est de la forme (46).
En outre, le système comprend toutes les courbes de degré p, comptées /• fois.
Si p est égal ou supérieur à n — 2, le nom])re des groupes du système considéré sera évidemment r"-" — i.
