Exemple. — Soient « = 4. ''= 2, p = i
Lf'f! coniques tangentes en quatre piints à une coufhe du quatrième degré à den.r points doubles forment quatre systèmes; pour les courbes d'un système, la somme des arguments des quatre points de contact est la même et a l'une des valeurs
Les courbes de chacun des trois derniers systèmes forment quatre groupes, et l èepiation générale des courbes d'un groupe est de la forme
a, et a, étant des constantes ai'bitraires.
Les coiuques du prenùer système comprennent toutes les droites du plun. comptées deux fois, et un groupe de coniques dont l'cu/uation générale est de la ftrnie précédente.
6."). Revenons maintenant au cas général et considérons l'équation génélale des courbes de l'un des groupes définis au n" 61
e> ^j l'^i ,-^2, -^3 ) ^^ ^i -*r, 0, 0, ■.., 0 ~t~ r y.^ ^tj A, — i, 1,0, ...~^ ■ • • ~^ ^/— o-fA-, A^.n ,0, /••
On a li'ôiivi'
Quelles que soient les constantes z,. a,, .... les relations (45) sont véi'ifit'cs: on a ainsi
Les entiers h,, h., h^^,^^ ont les mêmes valeurs pour l(>s cnurhes (Tnii
même groupe.
Considérons r courbes du groupe (/?i. A,, ...), et soient
/i'-(0 = 'MOo''--'(0,
les tbnctionsy, /^ correspondant à chacune de ces courhes. Si l'on pose
on aura, en tenant compte de \'\~)
et. par suite, les mu points de S dont les aiguments véritieiil re(|iiation F(/i = o, et ont évidemment pour somme — (co + luo') (u" Gl ;, soni situés sur une courbe de degré m [ïf 47). Ainsi :
Lp% ri points de contact avec S de r courbes de degré ni du ni 'me liroupe, les k., points simples et les /,-i points doubles donnés sur S. sont sur une courbe de degré m[*).
66. L'équation de cette dernière courbe est facile ;i t'oiiner. Soient, en
1 ' t Clebscii, Journal de Crelle, l. Cf. p. 24 J-
.■(]rl.
yM) ( / ) = .1, ( /) [ 3t, 9, ( 0 + «2 ?5 ( 0 "^ ■ ■ • + 5!/-ô+/., 9/-S+*, ( 0 1"".
on a
F(0 = 'i(0(^.?i-^- -OCîiO.-^-- ■)•• -(À,?. -•••)•
Kn (li'vcloppant le second rnenil)re cl en y reniplaeaiil
J-CO?! (0 Pa"" A,..o,(,...n,
■i(0 9r'(0r^'(0 par A,., ,,.„,„...„,
on obtiendra le premier membre de l'équation cherchée, qui sera de la forme
o = 3!, 3, ... Ài \,.,i),...o -^ {^■■2?'i- ■ -'t -1- a, 3,. ..).,+... -i- 3!i3,. ..).,) A,|,,,o...o -^ ■ ■ ■
(57. Cleltsch a donné le nombre des courbes de degré /i — '3 qui passent par /', [Kiinls doubles donnés de S et qui touchent cette courbe en tons leurs autres points de rencontre avec elle ( ').
11 résulte du tliéorème général du n" 61 et de la remarque II, n" (ri, <|ue :
7/ )- a 2-, ccsl-à-dire quatre syslcmes de telles courbes; la somme des arguments des points de contact est la même pour les courbes d'un système.
Chaque SYSlcnw comprend a'""*"' courbes; ou a ainsi en tout 2'' '''^' courbes répondant à la question.
On voit, comme au n" (i3, que ces résultats se mnditient si /•, e<l nui cl si /i — 'î est paii-.
Soient
/,, ^ O, Il — 3 =^ 2p.
Le système de courbes de degré 2: pour lesquelles la somme des arguments des points de contact est égale à — (w -1- /a./) ne comprendra (|ue
( ' I Clebscii. Joiininl de Crellc, I. fii, |i. 'i\i\.
\i courbes proprement dites, étant posé
et
