V-i-uK
?«-:!. •••. '}«-:! étant des polynômes de degré /i — 3 en r,, -x-.., .r,, et '^,, ,'î , des constantes arbitraires.
On verrait aisément, en appliquant la mélliode du 11" SO. que reriveloppc de ces courbes touche S en 4(^5 — X, — 1) [)oints.
8(3. On peut donner des résultats analogues pour les courbes de degré supérieur à « — 3; mais nous n'insisterons pas sur ce point, car nous aborderons plus loin une théorie plus générale que celle des points conjugués.
Application aux courbes du cinquième degré.
.S7. I. L'i courbe H, eineloppc des droites joignant deiiv points conjugues dans un système s. sur une courbe S du cinquième degré, et de genre un, est u/ie courbe unicursa/e, de quatrième degré, de troisième classe, ayant une tangente double.
La courbe H touche S en sept points.
II. Le conjugué harmonique, par rapport à deux points conjugués dans un système s, du point où la droite qui les joint coupe une droite fixe quelconque, décrit une courbe unicursale du cinquième degré.
Si la droite fixe est la tangente double de la courbe H correspondant au System" s. le lieu précèdent devient une courbe unicursale du troisième degré.
I);uis le cas où s a l'une des vingt-cinq valeurs données par la tuiniule
.v:= >(/rw-,-5A'o)') (/.-,/.■', = 0,1,2,3, ^),
la valeur o. par exemple, la tangente double de la courbe H correspondante coupe S en deux couples de points conjugués dans le système o, et en un cinquième point dont l'argument est \[l,> h- 5o/) (n° 43 bis]. Il résulte de là ( Rem. m du n" 83) le théorème suivant :
Le conjugué harmonique, par rapport à deux points de S, conjugués dans un système ^(^-co -+- 5k' o'), du point où la droite qui les joint coupe la tangente double de la courbe H correspondant au système, décrit une conique.
III. Les coniques G qui coupent S en cinq couples de points conjugués dans l'un des ringt-cinq systèmes \{l<'o) -+- j k\<)') forment un faisceau ( n" 84).
Soit le système o, par exemple.
La tangente double de la courbe H correspondant au système considéré coupe S, comme on l'a dit, en deux couples de points conjugués dans le système o, et au point d'argument ~(co -i-5o/), qui est à lui-même son conjugué dans ce système. Cette droite, comptée deux fois, est donc une des coniques G du faisceau qui correspond au système o, et, par suite :
Les coniques G d'un même système touchent deux droites en deu.r points fixes, situés sur la tangente double de la courbe H correspondante.
( 8? ) On pont (K'diiin' de là plusieurs conséquences «jue nous ne lerous (|u'enoncei', et, pour siniplitier le liingage, nous adniellrons ([ue les deux points fixes dont il vient d'être (juestion sont les points CYcli(|ues du pian.
Lp milieu du segment formé par deux points ro/iju^iiés duiis le sysicme o [^ou /'un des systèmes z [kio -+- 5/>'o/)] est une conique K.
Tous les eereles ayant pour centre un certain point fixe \ <'oupei>l S < u di.v points conjugues deux à deux dans ce système.
Le point A est situé sur la coni(pu' K.
La conujue K est la podatre. par rapport au point A, de la eourhc 11. enveloppe des droites ejui joigiwnl deu r /loints conjugués dans le système considéré.
W . Si s est la somme des deux arL;iwients e, et e^ correspondant a I un des eauj points doubles 1*], de S, l'enveloppe des droites f/ui p)igncnt deu r points de S, conjugués dans ce systènw, est une coniipie tangente et S c/i cinq //oints.
La somme des arguments de ces cinq points est .'. (o> -+- uo ); pur suite, ces cinq points sont situés avec les cinq points doubles de S sur une cubique.
Or (in a vu \n" ()7) (ju'il n'existe (|ue ciin| c(iiii(|m's tangentes a S en cincj |)oin(s sitn(''S avec les points doubles sur une rulii([iie; snil (',, l'iiiie de ces coniques; il résulter de ce ([ui [U'écède que :
Les tangentes de (], joignent sur S deu c points conjugues dans le système ei~\- e'-, et la tangente en E, à lu conupir (pu passe par h s ein'j points doubles de S est une tangente de C, n" 77 .
On peut énoncer autrement ces résultats :
Soit S une courbe du ciiupiième ordre ci cinq points doubles, a. b. c. d, e; les co/aques qui passent par quatre de ces points a, b. <■, d anipcnl S eu ib'ux points mobiles : la droite (pu joint ces points cnvehqtpe une conupu qui est tangente à S en cinq points, situés avec a, b, c, d, c sur une m'mr cttbiipie. et tpu touche lu tangente menée au point e à la coniqw des points a, b, c. d. c.
YII.
Correspondances.
88. La relation qui lie les arguments de deux points conju.nues n'est qu'un cas particulier d'une relation plus générale, (|ue nous avons déjii rencontrée.
Soit Z(/) une loiictioii doublement périodi(iue quelconque, aux périodes w, ri 10, cl (l'ordre />. I^'équation
diiiuu' pour (/, aljslraetion f'aile des multiples des périodes, p valeurs
/, ;/,, 1/., .... ii,,__,.
Soient sur la courbe S les /; points dont les arguments sont /, u,
///,, : nous dirons qu'ils constituent une correspondance. Ainsi, étant donnée la fonction Z, un point quelconque de S, d'argument/, détermine iine correspondance, et une seule.
La somme des arguments des points d'une correspondance est constante : elle est égale, en elVet, à la somme des zéi'os de la fonction de u •.7^{ii) — 7.{t), contenus dans un même parallélogramme, o.., «o/, c'est-à-dire à la somme (les infinis de Z(;/), contenus dans ce parallélogramme (à des multiples près (les périodes). On a donc
C H- /<(jj -t- rili' f,)'.
Dans le cas particulier où Z(/) est du second ordre, on a
^ H- «,= consl.,
et les deux points de la correspondance sont conjugués.
.Si). Soienta,,».^, ..., a^ les zéros de Z(/); [i,, p,, ..., [i^^., les infinis contenus dans un même parallélogramme des périodes.
En appliquant la méthode du n° 9, on mettra cette fonction sous la forme
y fuw,^b,n,^...+ i,n,, ^ M(<)
rt,ll, H- />,I1.,
étant posé
et
ri,+,(0 = 53|'
90. Cela posé, soit une courbe de degré w;/(j7,,.T2,^3) = o passant par tous les points d'une correspondance, dont nous désignerons les arguments par a, m, (a), ..., «p,(«). La fonction f[:v,{t),-T.,{t),ar.,{t)'\ou /[t] ren-
( «9 iViniera n" 55) le fadcui'
J\(t) = 0,[t-a)'i,[t- „,(a)\...'j,{l-n,,^,(a)-\e "> (Haut posé
La somme r/ + ?/,(«)-(-... -t- //,,,(«) est égale à c + luo + nli\<>' ; on l)("Ut, en ajoutant ou retranchant à l'une des quantités u,[a) un eeilain nombre de périodes, ce qui ne change pas sur la courbe S le point d'argument Ujia), faire en sorte que cette somme soit exactement égale à r; on
a alors
,,,U1^^,'JL'
et l'on en conclut aisément (|ue/|(;) s'exprime linéairement ii l'aide des fonctions n,, 112, • • • < n,, détinies au numéro précédent.
D'ailleurs la fonction My)Ni«) — N(/)M(«)i fj»' est m't' l'onction linéaire de n,, n. n^, admet les zéros a, u, [a) ii^,{a): [luisqne l'on :i
Z(n = ^-^ et /[//,(/)! = z(n.
Il en résulte que l'on a, 1, étant un facteur constant,
et. par conséquent,
