II

Dans re qui suit, il s'ai;i( des correspondances définies par une fominin

(Idiuiée Z(/).

Soit

mn = 2 /.-, + Ao -!- /j/7 ( m ^ ii — 2 ).

A,r5 courbes de dci^rc m, passant pur h\ points doubles. k\, points simples donnés de S, et avant avec S en pi points, formant l correspondances, un contact d'ordre /' — i , forment r'^''^ groupes; Cèepiatum générale des courbes d'un même groupe est

/>[ A,., 0, „ „ -H rp'f^j)., A,.| .,,„,..., 0 +••• + /4+i ô+/,, A„. „,..,,„, ,■ = o,

/>,, p étant des constantes arbitraires ; A,^ ..., ... des polynùmcs de degré m en .r,, .r„, .f.,.

[a's points de contact avec S de r courbes d'un nu'me groupe, les k\ points doubles et les k., points simples donnés sur S, sont sur une courbe de degré m, H.

Si

/'i, Pi, • • ■■ /'/+1-5+/,,.

pr',i^r'\

sont les valeurs des paramètres correspondant aux /courbes considérées. i'é(juation de la courbe R sera

/•',, k,, . . . étant des entiers, non négatifs, de somme /■, et .v^.^, . . . désignant la somme des produits

où y.,, -/, y-i^-, fi (î/,-, ... sont des entiers, prenant les valeurs o.

92. On peut dcduire de ces théorèmes quelques conséquences. Soient

/■ := I , /,-, = I /M " — 3 ) — / + 2 , nui =^1 /i , + /i-2 -t- pi.

l/é(|uation générale des courbes de degré m, qui passent pai' X-, points doubles et k-i points simples donnés sur S, et qui coupent cette courbe

(9' cil /Viiulres points, rormani / roiirspontlanci's, sci'u

/>,,/>2'/>:i t'tanl dos loiishuitcs ailjilraircs. Nous (l(''sii;neroiis r<'s cdiiiIics sons lo nom de courhos {"..

D'après Cl' qui |)r("ci'd(' n" '.10 . la roncliun C, [r, / % .r.-, t , .r.^/' | ol de la l'orme

(;,|., ■,(<). ...] = (:,(o = -HO(^,M- 5,\)(:.', M- .5, \)(aiM -,5;N) ou

On en loncliil. piiisi|iie Z[//, / ]=Z(/ ,

(:,[>/,(0] = N'[",(OJI>,Z(/t + 5, ]•••!>,' 'Z(n-^i; ' |!-["'("l.

et. pai' suite,

, ,^ ^ (^|j(, ( < j ^ <:,| »,(nj ^ c,.L»,U)j

<:,(/) C-,(i) c^ij)

C(da |)iisé, soit un point X du plan, deliiii par li's ndatimis

(:,(n C-,{t) Cad'

Le> t'onclions Ci{t) ont. dans un parallélo;j;ramme (o./m./i. />/ zéros varialtles: eomme. de plus, idies satisfont aux ridalions : ; ). la courbe décrite par le point Xi.X^.X;, sera une coiirhe unicursale de degré / n'";>2

et :i'i).

Soil (■ X|, Xi, X, i = () son é(| nation.

Par la substitution

\, =Ct{j.\,j-„,.v^),