PREMIÈRE PARTIE

Théorèmes généraux.

I. Soit une t'onctioa /i /), lioloinorpho dans tout le plan et satislaisanl aux relations

fKt (i) '

OÙ // désigne un entier positif, w et c/ des <|iiantités arbitraires, telles (pale eoeffirient de \— i dans le rapport '- soit positif. On peut poser

linéaire et homogène des // fonctions

et la relation (2) montre que A,„ — A„,.,. La fonction /(/) est donc fonction me des // fonctions

f l-, , .\ \ l/'l + ll-ITt - + 2l//! + ll

i II,, (O --- > c '•' '■' .

Il n'existe entre ces fonctions, d'après la forme même de leurs développements, aucune relation linéaire et homogène. Nous allons les remplacer par de nouvelles fonctions, d'expression plus simple, jouissant des mêmes propriétés.

Soit 0, (/; la fonction

,., \' 1)1- lit h2

(O' fRl

71/ llZI'

l> étant un entier quelconque; on a

/ f,i\ \^ m'(Jt-+!

c'esl-ii-dirc

Kn donnant h p les valeurs o, i , ...,// — i , on ol)tient n équations de cette forme, d'où l'on déduira les expressions de K|(/j ^n(f) pu i'onction

linéaire et homogène deO^:/' 0, / + (// — i)

> si le déterminant

n'est pas nul.

Or, en posant

cc^ — I , a; — G

ce déterminant devient

4 lit

I liir