En particulier, si l'on a /= 1 et, par suite
A, r= |/i(7) — 3) ol mil ^^ n{n — ?>) + l<,-^'ip,
les courl)es C seront des courbes de degré m, passant par les points doubles (le S, par/% points simples donnés sur cette courbe, et la coupant, en outre, en 2p points, formant deux correspondances.
En ce cas, la courbe G est une conique, et les théorèmes descriptifs relatifs aux coniques, dans l'énoncé desquels ne figurent que des droites, donneront (les propriétés correspondantes des courbes C et de la courbe S.
Ainsi :
1" .4 un point du plan de la conupie G correspondent, dans le plan de la courbe S, m- points, parnù lesquels figure jjt les points doubles et les k., points simples donnés sur S; en ne considérant que les points variables, on peut dire (pi' à un point du plan G correspondent m- — k., — (^ points du plan S ; nowi appellerons ces points « points associés ».
2" Par un point (hi plan, on peut mener deux courbes C tangentes à S aux p points d'une correspondance ; les deux correspondances de contact ainsi déterminées sont sur une courbe C, que nous appellerons courbe polaire du point considéré : ce point sera dit pôle de la courbe polaire.
3" Toute courbe C est une courbe polaire, ayant m"^ — ^ — k., pôles associés.
4" I^es courbes polaires des points d'une courbe C passent par les pôles de cette courbe.
^° Les pôles des courbes C passant par un point sont sur la courbe polaire de ce point.
COI RRES m QL'^TRIÉME DEGRÉ.
Expression des coordonnées, 9'f. Si l'on pose, comme dans la première partie.
les coordonnées d'nn point d'une courbe S, de cjuatrième dei;ré et de iicnrc un, pourront se mettre sous la forme
X, ^=A,P,(0 + AJ>,{0+A3l'3(0- Ail'v(0- X, = B,P,(0-H--., \3 = C,P,(0+..., ou. iMi posant
sous la forme
\, = (iç,iit, -+■ cil », -t- n,f/2 + Os'h-
X3 = C„(lo-h . . ..
<i étant des constanles.
X,, X^, X3 sont linéairement indépendants (sinon la courlie serait une droite); on pourra donc résoudre les trois équations précéilenles (i;ir rapport à trois (les tondions a : «,, «.>, «3, par exemple, et écrire
U^ ^= (•), Xi -+- cOjXj -4- (1(3 Xj — ). lia, «2 ^ ',)'iX, + — ,a ii„,
Les foncti(Uis de / : coiX, -f- oj^X^ + (o,X3 ; <0|X| -i-...; c'iX, -i- . . . sont
liiifMiicrnoiil iii(l('pcii(lantes, sinon il v aui'ait une relation linéaiie cntic //„, //,. (i.., Il ,, c'est-à-dire entre P,, Po, P^, P,. ce que nous savons être impossible. Nous (lésii^nerons ces trois l'onctions par jc\, .i\, x.. ; nous aurons
ainsi
( \) ' JL-, = ;/, + iJ.ii«,
(Test la leprésentation paramétrique (|ue nous utiliserons; .i\,.r.^, a-,, sont les coordonnées d'un poini (|uelcon(|ue de la courbe S; a, a, v (lésii>iient des constantes.
Kelations du second degré.
U.-). Les trois ('onctions du second degré: P^, P;, P^ !*., ont le même poids n" 12,; elles sont donc liées par une relation de la l'orme
7 étant des constantes.
(.liaiiiicoMs / (Ml t ~\ ; li vient
^,P5 + 3,Pj + y,PJ\ = o, d'où
(^, -p,)(P;-PJ) = o,
ce ([iii entraine
On a, par suite, entre les trois fonctions considérées la relation
Py-f- P3 = a«PoPi;
et, cliangeant / en / -l- ^^ il vient
a élanl une constanle. Reiuplacant, dans ces relations, les Conclions P par les ronclions u, on a
(J5) \ l'I -1- "3 =«('/! — ni),
\ ii\ -t- iil =- a{u\ — iiV).
*.)<i. (^(da pose. lir<ms des équations (A) les valeurs de ii,, ii.,, ii , en loue-
( 9 ' ) tidii di'.T,, .1'.^, .r,, //„, et portons-les lians les r('lations(B ;. Il viciil
( 1/1(1 -r- ,!Jt' — a'/- — n-j-) ^ -2 ?/„( (7 /..»-, — .'jL./-, — f/'j-r^) +■'■!; — n r-, — ri.i-\ = o. ) iiK"/.- -j- ■'- — a -^ a IX-) + 2//„ (— ),.>-, — fi;J..r, — -jr^) -(-■''; + a. ri — .cj = u.
l'osons, pour ahrégcr,
/> ^ ( (7- -!- I ) fjl- — (n^ — un 2(7V-,
7 = — ( rt- -4- I ) /.- — -2 a — ( a- — I ) V-.
/• ^ — ( (/- — I ) }.- — :> a iX- -^ (n- ->r- I ) .
On Iroiivc, (Ml ('liininaiil //;; entre les é(|iialioiis (', ,
■'■'loi />''-i-, + '/y-r, -;- /-v.Ca ) = />.i\ — Y,*-;j — /-.r^.
Il i-ésiilte (le la preinii're Partie de ce travail (|iie les deux poinis diniMo de S sont à rintersection de la (•oni(|ue
p.vl -^- '/.>l -^ ru-l - o et de la droite
'.)7. Dans ce ([iii suit, nous supposei'ons, pour siinplilier les iMKiures. (|ne les deux points douldes de S sont les points eii'culaii'es à l'intini, eoniniun^ il tous les cercles du plan; la courbe S sera une cyr/i(/iir.
On a immédiatement les propri(H(''s suivantes fn"'' Y.) his, 17 i :
I. f'/i cerc/e coupe une cyclique en quatre points, tuitres qur 1rs points doubles, dont les argiinients ont une s.mim- nulle, eiu.v multiples près de (■>, \ c/.
(le cercle, passant par les points d'intersection de la coni(|ue
/KrJ -+- t/.r'l H- r.rl r= o.
et de la droite A. aura pour (H[uation, dans le systi'ine de co(M'donn(''es adopte,
o =^ 2(ai.r, ■—- x,.r.2 ^ X:i''z) (/'À.r, -^ q'J- r^ + l'-jx^') — y.(,( p.r-^ — (j.r\ -4- r.r\ i =; o.
et les arguments des quatre points, autres que les points douilles, où il coupe la cyclique, v(''rifieront r(''(| nation
y.x .r,( o H- y.i.r.A t) -+- Xs-Vii/) + 2<u "o( 0 = '••
II. Quatre points dune cyclique, dont les arguments ont u/ir somme nulle, sont sur un cercle.
( 96 ) Les (|ualre arguments, doiil la somme est nulle, vérifieront une équation
<lc la l'orme (n"(i)
^1 .r,(0 4- x, J\(l) -h Xs .r.J t) -\- 3!„ ll^,{l) —o, et les (juatre points eorrespondants de la cyclique seront sur le cercle
2(a|,r, + c.,u-, + as.r,)! + Xoipa^] -+- qx'l + r.vl ) ^ o,
III. l'iie droite coupe une CYclique en quatre points, dont les arguments ont une somme nulle [à des multiples près de oj, l\<.o).
H Ci- Système principaux de conjugaison.
98. Nous dirons que deux points de la cydiciueS sont conjugués dans un système principal, si la droite qui les joint coupe la cyclique en deux autres points, conjugués dans le même système. On aura ainsi, en désii^nant par .V la somme des arguments de deux points conjugués dans un systi'ine principal
//, // étant des entiers, et de lii résultent pour les .v les (|uatre valeurs
// V a donc quatre systèmes principaux.
99. TiiÉORiiME. — Les droites qui joignent deux points d'une cyclique, conjugués dans un système principal, passent par un point fixe.
Ce théorème est un cas particulier de la proposition démontrée au n" (S4 ; nous allons le prouver directement de la manif're suivante :
Soit d'ahord le système principal, poni' lecpnd on a .v = o, et supposons (pie la droite afX,-\- a.,x., -\- a^x^ =o passe par les deux points d'argu-
(') Les résulliils goométriquos (le ce paragraphe sont bien ciiniuis: 1;\ (UMiioiistration seule ikhis semble nouvelle.
( 97) monts 7. et — ■/.. conjugués dans ce système, on a
rt,j-,( 5()-4-«,.r.( y.)^a-^X;{ :<) = o, rt, .r,(— x'i -+- <7o J-.2(— a) -h «3 -fsC— ^tt = o.
Or 'in a identiquement et. par suile.
P;(-0 = Pi(-<-
d'où l'on lire
D'après cela. ré(|uation
devient
o = «1 ["i ( 3! ) -H "/. «0 ( :t )] 4- r?, [», ( a) + fi «0 ( 3:)] ^ «3 [— "3( î< ) -t- •> "i. ( ^ ) I ; on a d'ailleurs
o = a,[«,(,3:) -+-/.«„( a)] + a,[;/,(3() -;- ;/ «„(a)] 4-a3L"3(^) -i- ■■< "oi^'-)]-
On en (ire, par soustraction,
rt3(/3(3c) = 0,
ce qui exige, puisque a est quelconque, que l'on ait
L'équation de la droite considérée est alors de la l'orme H.
Xo =; 0.
ato'H
.rj = iJ.,
file [liisse l)ien par deux couples de points conjugués dans le système zéro, puisque les fonctions iio{i), ii,{t), ii-,{i) et. paf suite, les fonctions ii,{l)-i-lii(,{t), ii,{t)'+- [j.itoit), c'est-à-dire J.\{t), x.,{t) sont paires. On voit que cette droite a un point fixe, le point {.v, = o, a?-, = o).
Par une méthode analogue, on déterminerait, en s'appuyant sur les équations (3) de la première Partie, les points fixes par lesquels passent respectivement les droites joignant deux points de la cyclique, conjugués dans les autres systèmes principaux; on arrive ainsi aux résultats suivants :
Les droites qui Joignent deuv points d'une cyclique, conjugues dans l'un des quatre systèmes principaux o, -> 2co', 2c/+ -> passent par un point fixe ; les pi)ints fixes définis ainsi sont :
point Oi.
Nous désignerons ces quatre points, Oj, Oo, O3, O4, sous le nom de pôles principcuix.
Ainsi, les coordonnées des points de la courbe S étant mises sous la forme (A), trois des p("»!es principaux sont les sommets du triangle de référence.
100. Un pôle principal est à l'intersection des hauteurs du triangle fornu par les trois autres.
Nous avons vu, en effet, que les points doubles de la courbe S sont à l'intersection de la droite
plxi -+- '/iJ-Xn -T- r'ix^ ■= o
et de la conique
pxl -hqx'l -h r.i'l = 0.
Le triangle do référence est autopolaire |)ar rapport à cette conique, et la droite des points doubles de S est, par rapport à cette même conique, la polaire du point (a, a, v), c'est-à-dire du point Oj.
Ainsi, le point 0,, est le centre d'un cercle, par rapport auquel le triangle 0,0.0;, est autopolaire; il est donc à l'intersection des hauteurs de ce triauijle. c. y. r. n.
101. La cyclique es! anallcigf/ict/iquc par rapport à ses t/uatre pôles principaux.
Soient, en effet, (juatre points (juelcon(jues, il'niie cydi(|ne A et H, A' et B', conjugués deux à deux diins un système principal. La somme des iirgunients de ces quatre points est nulle; ils sont donc sur un cercle, et l'on a, puisque les droites AB, A'B' concourent en \\\\ des pôles principaux 0.
^)Â.uT5 = o7v^ôïv.
Par suite, la cycli(|ue est sa pr(q)i'e transformée, par rayons vecteurs léciproques, quand on prend pour pôle d'inversion un pôle principal, el pour puissance d'inversion le produit des distances de ce pol(! à deux poinls de lu cyclique, conjugués dans le système principal correspondant.
On aj)pelle cercle directeur un cei'cle (h'crit d'un pôle principal comme centre, avec un layon éi^al à la racine carrée de la [)uissance d'inversion correspondante. Il y a donc (|ualre cercles directeurs.
