Les cercles directeurs se coupent à angle droit
Soient, en effet, sur la cyclitjue les quatre points d'arguments
0 étant quelconque.
Les droites (0, — 0), (—0 + ^,0— '-\ passent par <),; de même, les
droites ( 0, — 0 + J^ j, ( — 0, 0 — ~\ passent par 0^. Les (juatre points considérés sont d'ailleurs sur un cercle, et les puissances des pôles (), et 0,, par rap[tort à ce cercle, sont respectivement les carrés des cercles directeurs coi'rcspondaiils. Or, d'après la disposition même des (juati'e points, on voit (jue la polaire du point 0, , par rapport à ce cercle, passe par 0., ; et, par suite, on aura, en désignant par a.^ la distance O.Oo, par /■, et /o les rayons des deux cercles directeurs.
Les cercles directeurs de centres O, et 0^. se cou[)ent donc ;i angle didit.
10;i. Renuirquc. — l^es points O,, Oo, 0,, O., étant donnés, les cercles directeurs sont déterminés.
f lOO )
lOi. Le triangle, forme par trois pôles principauv d'une cycHijuc, est autopolaire par j-apport au cercle directeur qui a le (pialriérne pôle principal pour
rentre.
Car on a, dans le triangle OiO.Oj, en désignant par P le point de reneonlre des droites OoOs et O1O3,
^7; = (7^ H- rtj — 2«2.0, I*,
d'où
/,J = rt, xO,l'.
La droite OoOj, est donc la polaire dn point (),,, par rapport au cercle directeur du centre 0,. On démontrerait, de même, que la droite 0:,0, est la polaire de ()...
105. TnÉor.ÈME. — Le conjugué harmonique d'un pôle principal 0 par rapport à deux points d'une cyclique conjugués dans le système principal correspondant est une conique.
Soit, par exemple, le pôle 0.; on démontre aisément les relations
«0(0 ~~ "i(0 ^ «2(0 ~ MO '
et. par suite, deux points de la cyclique, conjugués dans le système 2(.)'-i- ^, ont respectivement pour coordonnées
-fi= "i(5)-)- 'l.u,(0), jr\= ii,{S) - /.//„(6), ^3="3(5)-f- -JiioiO), a-; =«3(5)— v«o(5).
Le conjugué harmoni(|ue du point /,, <j., v, par rapport à ces deux points, a
pour coordonnées
X2='/2(5), \,= ih{B).
Or on [ire des relations B), en éliminant «|;,
■îanl-h «j(i — rt'-) -i- Mi;(n- «2) = 0.
Le point (X,, X,, X, ) décrit donc la coniqno
(l — a'-)Xj-t- 2«\^H- (l H- rt-)X^ — o.
Nous l'appellerons la roniijuc liannnniriue correspondant an pôle principal (),. Le triangle 0, GoO^ est auto[)olaire par rapport ii cette coni(|U('.
Cercles doublement tangents à une cyclique.
106. Soit nn cercle, hitangeni à la cycliqne S en deux points, d'ai'gunients 0 et 0'. On a
et, par suite :
Les deux pt)tiits de eotUncl d'un eerc/e hi/a/i^e/i/ à la i-ye/ir/iic soiil eoiijiit^iiès dans nn des SYSléincs prineipaux.
Il y a ainsi (jualre systèmes de c(M'cles hitangents, cl ré(|nalioii i^cncralc des cercles d'nn systinne sera de la forme fn" (îl)
o> étant une constante arhiti'airc.
Il en l'ésulte aisénienl (pie :
Les centres des eereles hiUin^enls d'un même sysicme dèrri^'enl une eonuiue.
I^es ([uati'e coni(jncs ainsi ohteniii^s se noiiinieiil déférentes; chacune d'elles correspond à nn systi'ine |)rincipal et ii nn pôl(> principal.
La puissance d'nn pôle principal par rapport aux cercles hitangeuls du système correspondant est évidemment égale au carré du rei'cle dircclenr' <|ui a ce pôle pour centre; par suite :
// )' Il dans un système de cercles fnlangents quatre cercles de rayon nu/ : leurs centres sont à r intersection de la déférente cl du cercle directeur correspondant au systénw.
Ces (jiniti'c poinis son! appelés /mc/'.v. Lue cyidicjue a ainsi sei/.(^ loyers. Tous ces résultats sont i»ien connus, el nous n'v iusislerons pas davaulai;e.
107. La conirjuc harmoinque et la conique déférente correspondant à un pôle principal sont polaires réciproques l'une de Vautre par rapport au cercle directeur qui a ce pôle pour centre.
Soient, en effet, A et B deux points de la cyclique conjugués dans le système principal correspondant au pôle 0 considéré; il est géométriquement évident que la déférente est l'enveloppe des perpendiculaires élevées aux segments AB en leurs milieux. Soient M le conjugué harmonique de 0 par l'apport au segment AB, p, la distance OA, p^ la distance OB, p la distance OM. On a
2 1 I pl-*-p2 ,..
- = \ OU p = pip2= ''■,
P Pl P2 '^2
/• étant le rayon du cercle directeur du centre 0. Par suite :
Le point ^M est le pôle par rapport à ce cercle directeur de la droite élevée perpendiculairement au segment AB en son milieu. c n. v. n.
Corollaire. — Les quatre points de contact d'un cercle directeur avec les tangentes communes à ce cercle et à la conique harmonique correspondante sont des foyers de la cyclique.
lOcS. Par un pôle ])rincipal passent deux tangentes doubles de la cyclique.
Ces droites sont les tangentes menées du pôle principal à la conique harmonique correspondante. Les quatre points de contact de ces deux droites et de la cyclique étant deux h deux conjugués dans un même système principal sont sur un cercle. On trouve ainsi huit tangentes doubles. II n'existe pas de tangente double ne passant pas par un pôle principal; car, si 0 et 0' sont les arguments des deux points de contact d'une tangente double, on a
2(9 + ^') = Au-t-yt'«', et, par suite, ces deux points sont conjugués dans un système principal.
109. Remarque. — Le cercle directeur de centre 0,, est un cercle décrit de 0. comme centre, et par rapport auquel le triangle O1O0O3 est autopolaire; par conséquent ' n° 100), ce cercle a pour équation
((/.) px\-\- qx\+ rxl=zo.
La conique harmonique qui correspond au point 0,, a pour équation
(i — a-)x\-\- lax^-^- {i ^ a^)x\^o.
La conique (lélrroato correspondant au même point est, par rappori an cercle directeur, la polaire réciprO(|ue de la eoni([ue liarmoni(|nt'; on a ainsi, pour son équation.
Or on a vu (|ue la cyclique a quatre foyers à l'intersection d'une déférente et d'un cercle directeur corresp(ni(Iauts; de la foi'me même des équations (y.j et (^i) résulte le théorème suivant :
1 10. Dans le (juadrilalcrc forme par les quai re foyers (Fane ryc/iqiie e(/ia'//istanls (1 un pôle prinei pal. les points de re/ieo/itre des càlès opposés el des diagonales eo'ineident avee les /rois autres pôles jinneipnu.r.
Systèmes généraux de conjugaison.
lll. Soient deux points A et B de la cyclique, d'arguments 0 et .v — 0: ces deux points sont, par définition, conjugués dans le sysli'me s. Tout cercle qui passe par ces deux points coupe la cyclique en deux nouveaux points, conjugués dans le systf'mc — s. On en déduit immédiatement r'c théorème, de .Af. Darhdux :
Si l'on coupe une cyclique par un cercle quelconque, (pie par deux des ipialre points d'intersection on fasse passer un cercle, et, par les deux autres, un autre cercle, les deux nouveau v cercles couperont la cyclique en quatre points nouveaux, situés sur un cercle.
1 12. L'équation générale des cercles qui coupent la cyclique en quatre points, dont deux sont conjugués dans le système e/onné, s, s'obtient comme il suit. Les deux autres points d'intersection d'un de ces cercles et de la cycliqiuétant conjugués dans le système —s, l'équation qui d(mne les arguments des points d'intersection du cercle et de la cyclique sera de la forme (35)
( io4 )
mi. il un facleur constant près,
' (0 = 'Mo (9'i + >■?■;) (92 + F-?'2).
A et 1^. étant des constantes arbitraires.
Les fonctions ii(z), 9', (/), • .., ?1(0 sont de la forme indiquée au n° 55 ; les quatre zéros de .!/(/) sont les quatre arguments qui correspondent aux lieux points doubles de S.
L'équation générale chercbée sera donc de la forme
o = lij.\ -+- ÀB 4- ixC -h 1),
et, comme elle représente un cercle, quels que soient X et [a, les courbes A = 0, B = o, C = o, D = o sont des cercles. On a d'ailleurs
A(o = A[.r,(o,^.,(o,^3(o] = 'Mo?",(o?';(o,
et, par suite,
\(t)l)(t) — Yi(t)C{t) — o.
On en conclut que le premier membre S de l'équation de la cyclique divise le polynôme du quatrième degré AD — BC; en d'autres termes, on a
