S = AD — BC
113. On déduit de là Vcqiiation générale des droites qui joignent deux points eonjugués dans le système s [ou — s).
Il suffit, en effet, d'exprimer que la courbe (c'est-à-dire le cercle)
}jjLA + }.B + ,aC + D=o
se décompose en deux droites, dont l'une est la droite des points doubles de S. En exprimant cette condition, on obtient évidemment une écpiation de la forme
rt }.fJl -t- il }. + c [JL + 6? = o,
a, h, c, d étant des constantes.
Si l'on |)Oite la valeur de [j. tirée de cette relation, dans l'équation gêné-
raie (les cercles passant par deux points conjugués dans le svstènu- .v, on obtient l'équation
o = "/.-(«B — Z>\) + ). (f B — r/A -+- fiD - bC) H- f D — dC et les trois fonctions du second degré
«B — *A, cB — f/A + rtB — iC, cD — ^C
seront divisibles par le premier membre A, de l'équalion de la droite qui joint les points doubles de S.
Désignant respectivement par A', B', C les quotients de ces trois fondions par A. on aura, pour l'équation généiale des droites joignant deux points conjugués dans le système s,
Les arguments des points d'intersection d'une de ces droites avec S vériileront l'équation
[j. étant lié à 1 par la relation a'/.y. -^ hl -f- ry. + </ ^ o.
1 14. Par conséquent :
L'enveloppe des droites joi tenant denr poirus conjugues dar)'^ un svs/r/ne donne' est une conique.
L'équation de cette conique, le système donné étant le système .v, est
Or on peut écrire identiquement
A^(B'^-/,A'C') = [(rtl)4-^A-cB- hOy-^^ibc-ad) (AI) -BC)
ou
A-(B'^'— .',A'C')i= {a\)+d\ — c]^-bC.f u- ](/,c — rid)S.
Cette identité montre que laconique enveloppe touclie lacyclique en (juatre points, situés sur le cercle
al) ^d\ — cV, — bC^o.
( loG ) Ainsi :
115. L'^s droites joignant deur points d'une cyclique, conjugues dans un svstè/ne donné, enveloppent une conique, qui touche la cyclique en qucUre points, situés sur un cercle.
Nous dirons qu'une pareille conique est inscrite dans la cyclique, et nous appellerons cercle de contact le cercle qui passe par ses quatre points de contact avec la cyclique.
Remairpie. — Ces résultats sont un cas particulier de ceux qu'on a ctal)lis au n" SO.
A chaque valeur de s correspond ainsi une conique inscrite et un cercle de contact; nous allons démontrer que :
1 16. Tous les cercles de contact ont même centre.
Supposons pour un instant que les points doubles de S soient deux points quelconques E, et Eo du plan.
On peut considérer le svstènie l'orme par une conique inscrite à S et par la droite A des points doubles, comme une courbe adjointe du troisième degré, tangente à S en quatre points, situés sur une courbe adjointe du second degré, que nous nommerons conique de contact. Par suite, si T = o, T' = o sont les équations des tangentes à S au point double E, ; si
A = T -F- i7oï' = o, T-+-«|ï'^o
sont respectivement les équations de la droite des points doubles et de la tangente en E, à la conique de contact, on aura (n° 41 )
puisqu'ici a^ , -— uz, d'où
La solution «, = a?, est à rejeter, car elle exprime que la conique de contact touche A au point E,, el, par suite, puisqu'elle passe par Eo, se décompose en deux droites, dont l'une est A, et dont l'autre est une droite D du plan; la conique inscrite correspondante serait alors la droite D comptée deux fois.
Pour obtenir une conique inscrite proprement dite, on doit donc prendre le signe — ; on a ainsi «, = — «g.
De là colle conséquence :
Les coniques de contact ont en un quelconque des points doubles de S une tangente commune; cette tangente est conjuguée harmonique de la droite des points doubles par rapport aux deux tangentes de S, au point double considère.
Dans le cas où S est une cyclique, on voit ainsi que tous les cercles de contact ont même centre.
On 'at^t^AIq foyers singuliers d'une cyclique les quatre points d'intersection des tangentes à cette courbe en un de ses points doubles avec les tangentes en l'autre point double; ces quatre points sont évidemment situés deux à deux sur deux droites rectangulaires, se coupant en leur milieu.
Il résulte de ce qui précède (jue :
117. Le centre commun des cercles de contact coïncide rtccr le point de rencontre des deux droites rectangulaires qui joignent deux à deux les foyers singuliers de la cyclique.
Propriétés du centre.
118. Le centre commun des cercles de contact jouit de propriétés importantes; nous l'appellerons dorénavant centre de la cyclique. Les propositions suivantes justifieront cette dénomination.
Soient deux droites quelconques, joignant respectivemenl deux poinl^ conjugués dans le système s,
r- \'^'/. Tî' + (:'=(.,
Les équations aux arguments des points d'intersection de ces droites avec la cyclique sont respectivement
•j. et \j.' étant liés à a et >.' par les relations
o = (7/p. -h bl. -H ciJ. -h d, o ^= rt/.'p.' -)- b'/.' -h cjx' +- cf.
( lo« ) Les huit points où les deux droites considérées coupent la cyclique formenl quatre couples; deux de ces couples sont conjugués dans le systèmes, les deux autres le sont dans le système —s. Il en résulte que ces huit points sont quatre à quatre sur deux cercles, et les équations aux arguments des points d'intersection avec S de ces cercles sont respectivement
Par suite, on a, pour les équations de ces cercles,
o = >.'fxA + /.'B+ptC-+-D ou, en tenant compte des relations ([ui lient >. et y., V et y.',
o = n'(aB — b\) +>. (cB — c/A) + X'(crD— bC) -h cB — dC, o — 7/,'(«B — bK)-^ }/(cB — f/A) -h >, (rtD — Z>C) -H cD — rfC,
ce qu'on peut écrire (n" 113)
o = '^-^^ (rtD H- f/A - cB - i-C) 4- r/,' A' -+- ^-tA B' -t- C, 2 2
0= '— ^'(aD-f-f/A -cB- 6C )-(-/./.' A' + ?-t^B'+C'. ■1 2
Si l'on remarque que le cercle de contact de la conique B'- — 4A.'C' a pour
équation (n" 114)
«DH-f/A-clî-^C = o,
et que l'équation de la droite qui joint les deux points de contact des droites considérées avec cette conique est
on arrive, par des considérations simples de Géométrie analytique, aux résultats suivants :
