OD

A' et B', a et h' deux couples de points analogues, situés sur une seconde droite;

H et H' les points où les droites AB et AB touchent la coni((ue C, enveloppe des droites joignant deux points conjugués dans le système s;

31 le milieu de AB;

/n le milieu de ab.

I. Les points A, B, a' , h' sont sur un cercle i ; Les points A', B', a, b sont sur un cercle 1'.

II. Les cercles i et i' se coupent en deiLV points, situés sur le cercle de contact de la conique C, et sur la droite HH'.

III. Le centre du cercle de contact est le milieu de la ligne des centres des cercles 1 et l' .

IV. Le point H est le centre de l'im-olution déterminée sur lu droite AB par les sarments AB, ab ; ou a ainsi

n\.iiB= W'i.wh.

et la valeur commune de ces deux produits est égale à la puissance du point II par rapport au cercle de contact.

120. De la troisième de ces propositions, on déduit une conséquence intéressante.

Le centre du cercle I! est sur la perpendiculaire, élevée à la droite AB en son milieu M; de même le centre du cercle 1' est sur la perpendiculaire élevée au milieu m de ah. D'après le théorème III ci-dessus, le centre du cercle de contact est au milien de la ligne des centres des cercles i et 1' : il en résulte que la perpendiculaire abaissée du centre du cercle de contact sur AB tombe au milieu des points M et m.

En d'autres termes :

'121. Le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la cyclique sur une droite quelconque est le centre des moyennes distances des quatre points où cette droite coupe la cyclique.

122. Corollaire I. — Les perpendiculaires élevées aux huit tangentes doubles d'une cyclique, au point milieu des deux points de contact, concourent au centre de la cycli(|ue.

I lO

123. Corollaire II. — Si l'on connaît le centre d'une cyclique, et trois points de cette courbe, situés sur une droite D, le quatrii.>nie point où cette droite coupe la cyclique est déterminé.

124. Corollaire III. — Le centre de la cyclique est le centre des quatre coniques déférentes.

Soient, en effet, A et B deux points conjugués dans un système principal; a et h les deux points conjugués dans le même système, où la droite AB coupe la cyclique; M le milieu du segment AB; m celui du segmentai.

D'après ce qui a été dit au n" 107, les deux droites élevées perpendiculairement à AB aux points M et//; touchent la conique déférente correspondant au système principal considéré; par suite, le centre de cette conique est sur la droite P, élevée perpendiculairement à AB au milieu du segment M//?, et les droites telles que P passent ainsi par un point fixe, qui est le centre de la déférente. Or nous savons, d'après le théorème précédent, que la droite P passe par le centre de la cyclique; il en résulte, puisque la droite P a une direction variable avec la direction de la droite AB, que le centre de la déférente considérée coïncide avec le centre de la cyclique.

Coniques inscrites.

125. L'équation générale des coniques inscrites peut se mettre sous une forme simple. Si l'on suppose, en effet, que le rayon du cercle de contact augmente indéfiniment, ce cercle aura pour limite la droite de l'infini comptée deux fois, et la conique inscrite correspondante aura la même limite. En d'autres termes, la courbe A- = o est une des coniques inscrites à S.

Or l'équation générale des coniques inscrites est de la forme

\ étant arbitraire (n" 64), et M — o étant évidemment l'équation d'une quelconque d'entre elles. Si l'on fait M = A'-, on aura, en coordonnées cartésiennes, pour l'équation générale des coniques inscrites

(VJ) l- -r- 2/.C + G = 0.