On en déduit immédiatement les résultats suivants

Les coniques mscriles à une cyclique ont mêmes directions d'axes. Le lieu des centres des coniques inscrites à une cyclique est une /lyperbole èquilatère. passant par le centre de la cyclique. Les asymptotes de cette hyperbole sont parallèles auv axes des coniques inscrites.

Nous appellerons directions axiales de la cyclique les directions axiales des coniques inscrites. Parmi les coniques inscrites, figure évidemment le couple de tangentes doubles issues d'un pôle principal; par conséquent, la conique, lieu des centres, passe par les quatre pôles principaux.

Nous appellerons cette conique, ([ui passe par le centre et les pôles principaux de la cyclique, conique principale.

Cycliques homofocaies.

127. L'étude des cycliques homofocaies est liée intimement ;i celle des points conjugués. Le tliéorème suivant est dans ce sens fondamental :

Le lieu des centres des cercles de rayon nul passant par deux points d'une cyclique S, conjugués dans un système donné s, est une cyclique S', homojocale à S.

i" Le lieu est une cyclique. En effet, les cercles passant i)ar deux points conjugués dans le système s ont pour équation générale (n° 112

'rx\ — }.B-;j.(; — l) = o,

A et [j. étant des constantes arbitraires. A, 13, C, D les premiers membres des équations de (|uatre cercles. Soit, en coordonnées cartésiennes.

A -- a(x'- ~y'-)^ 2(a,.r -+- p,y) - 7.' B =- h{x'--^y') -- 2(a,./- + 3, r) - y„ C = c {.r- -^y--) -h 2(y.iX -f- ^j.v) -h 73, ])=(/( .r- -!- >•= ) -i- 2 ( 5!, ./• -T- 3 j v ) -h 7 i .

Le corde 'X|^.A + aB + |^.C -h D = o sera de rayon nul si les équations

>|J. |/7.r -+-a,] ->rl[/>.f 4- a,] +fji(f.r H- a^ ) -)-f/.r -i- a^ = o,

/;j.|/n- 4-3,] -hi[br -t-i3,] 4-^(cv 4-5,,) 4-r/)- 4- ,34 = o,

/;j.[^i.r4-,3,)+y,] + >.[a,.r4-32j-4-yo]4-f/(s<3.r 4- .Sj^r 4- y, )4-5!4-î'4-pvr-t- yi = o

sont compatibles, et le lieu des centres des cercles de rayon nul passant par deux points conjugués s'obtiendra en éliminant >. et a entre ces trois équations.

On trouve, en les résolvant par rapport à )>;j., 1 et y.,

>^^, 7,^, fx^,

P, Q, T, R étant les premiers membres des équations de quatre cercles. Le lieu cherché a pour équation