PQ = RT
c'est donc bien une cyclique S'.
2° Cette cyclique est liomofocale à S.
Revenons, pour plus de clarté dans le langage, au cas où les points doubles de S sont deux points quelconques E, et Ea du plan; et soient e,,e\; 62, elles couples d'arguments qui leur correspondent respectivement. On a c, -h c\ -+- e.2-i- e'., = 0 (n° 43 bis). D'après ce qui précède, la droite qui joint E, à un point quelconque A de la courbe S, et d'argument 0, et celle qui joint E^ au point B d'argument ^ — 0, se coupent sur une courbe du quatrième degré. S', dont E, et Eo sont des points doubles. La droite E,A coupe S en un quatrième point d'argument — (e', 4-c, 4- 0); de même, la droite E,B coupe S en un quatrième point d'argument — {e.-, -\- e.;, -h s — 0), et l'on voit que la somme des arguments de ces deux points est — s. En d'autres teruKiS, la droite qui joint E, à un point quelconque de S, d'argument Ô' et celle qui joint E2 au point d'argument — ^ — 6' se coupent également sur la courbe S'.
Cela posé, étant donnée une droite (luelconque issue de E, et coupant S au point A d'argument 0, on obtiendra les deux points de la courbe S' (autres que E,) situés sur cette droite en prenant son intersection avec la droite qui joint E. au point d'argument s — 0 et celle (jui joint E. au point d'argument — 5 — 0. Si ces deux dernières droites se confondent, la droite E.A sera tangente à S'. Il faut, pour cela, que les points d'argu-
(ii3)
nients s — f), — s — <) el \e point E^ soient en ligne droite, c'est-à-dire (|ur l'on ait
t'2 -t- Sj -H 5 — 0 ^ S — 0 =:-0
ou
En ee cas, le quatrième point où la droite E,A coupe S, et qui a pour argument — (c, + e\ -+- f)), c'est-à-dire e.,-j-e', — 6, coïncidera avec le point d'argument 0, et la droite E.A sera tangente à la courbe S en ce point. Par conséquent :
Les tangentes menées atw courbes S et S', par les //oints E, et E,, sont /es mêmes.
En d'autres termes :
Les cycliques S et S' sont homofocales.
i2(S. Il résulte de là (juc les huit points de la cyclique S, dont les arguments sont
sont situés sur la cyclique S'; ces points sont, en elFet, conjugués à euxmêmes dans le système s ou dans le système — s.
Les deux cycli(|ues ne se coupant (|u'en huit points, à distance finie, on a ainsi les arguments de tous leurs points d'intersection. Ils sont de la l'orme
1"29. Remaifjue. — Nous dirons désormais ([ue les deux systèmes de conjugaison * et — ^ sont complémentaires.
l."5(). Les cycliiiues homofocales ont mêmes pèles principaux et mêmes cercles directeurs.
Ce théorème résulte directement de ce qui a été dit au n" 106.
i;U. D'après ce qui précède, les huit points d'intersection de deux cycliques homofocales, situés à distance tinie, ont pour argument sur l'une, H. i5
( '14 ) S, de ces cycliques, huit quantités de la fbi'me
la tangente à S en un de ces points joint donc sur cette courbe deux points conjugués dans le système s, ou le système complémentaire, et, par suite :
Les hait tangentes menées à une cyclique en ses points d'intersection avec une cyclique homofocale touchent une conique inscrite dans la première cyclique.
132. La définition donnée plus haut d'une cyclique S', homofocale à S, peut se traduire ainsi :
Soient A et B deu~v points d'une cyclique S, conjugués dans un système donné, s, ou dans le système complémentaire. Les points A, et B, situés sur la perpendiculaire élevée au segment AB en son milieu M, et tels que
sont sur la cyclique S'.
Car ces deux points sont bien les centres des deux cercles de rayon nul qui passent par A et B.
De là résulte la propriété connue :
Les cycliques honiofocales se coupent à angle droit.
Soient, en elîet, sur la cyclique S, deux points A etB, d'arguments- -t-s
et' £. La quantité s étant très petite, ces deux points sont voisins;
pour £ = o, ils se confondent en un des points d'intersection A^ des cycliques S et S', et la droite AB a pour limite la tangente en A„ à la cyclique S.
D'après la construction indiquée plus haut, les points A, et B, qui correspondent sur la cyclique S' aux points A et B sont voisins, et la droite A,B| a pour limite la tangente en A^ à la cyclique S'. Or les droites A,B| et AB restent perpendiculaires; il en résulte que les deux cycliques se coupent à angle droit au point A,,. c. n. f. d.
