Des deux théorèmes précédents on déduit le suivant
Les huit normales menées à une cyclique en ses points d'intersection avec une cyclique homofocale louchent une conique inscrite dans la deuxième cyclique.
( ni )
['M. Les hiiil points (V intersection de deux CYcii(/iies homofocales sont sur une cubique circulaire, qui passe par les sommets, les points de rencontre des côtés opposés et des diagonales du (/uadrdatére formé par les quatre pôles principaux des cycliques.
Tout d'al)or(l, ces liuit points sont Iticn snr nne onljique circnlaire. car la
somme (le lenrs ar^nnicnts ± - H — oj h- hZ/'w' sur la cvcliiiuc S est nulle
! n" 47 ), à des multiples pii'S de w, /jo/.
Remarquons maintenant ([ue les quatre aigunienls - > — -, --4--,
— - -h ;^ ont une somme nulle (à des multiples pri's de to, 4'jj''. L't <]u'ils vérifient, par suite, une é(|uation de la forme
Or les fonctions «„(/),«,(/), u.^{t) sont paires, la fonction //3(/) est im[>aire, éq. (E), n° 99; il en résulte que la constante a^ est nulle.
De même, les fonctions //„, //,, w., ne chani;ent pas quand on y rem[)laee /
pai- ^ /, la fonction u.^ eliange de signe, et l'on a a.^^ o.
L'équation est donc de la forme
Les (luantités - 4- 20/, — - + 20/, - + - + 2co', — - + - -^ 20/ véri- .'■ 2 22 2 2
tient par suite l'équation
c'est-ii-dire, ii un facteur exponentiel près,
"o"vit) —«,//,(/) =:0.
Les arguments des huit points d'intersection de la cveli(iue S et d'une cyclique homofocale S vérifient donc la relation
(ri^ ii„ -t- «, «, ) ((7„ ;/„ ~ a^ll^)^ ci'l li'l ^ a\ tl\ — o.
Le rapport — varie avec s, c'est-à-dire avec la cyclique homofocale S' considérée.
Les huit points d'intersection de S et de S sont donc situés sur la cuhique
( n<3 ) circulaire, dont l'équation est
en désignant par Uo= o, U, = o les équations des cubiques circulaires qui
coupe
tions
coupent respectivement S aux points dont les arguments vérifient les rela-
Les huit points d'intersection de deux cycliques homofocales sont donc sur une cubique circulaire, passant par sept points fixes à distance finie .
Il reste à déterminer ces sept points.
Or nous avons trouvé (n° 96)
px\{t) + qxlit) + rxl{t)^iu,{t) ^{t).
Il en résulte que la cubique, dont l'équation est
x^[l{px] +qxl +rxl)—x^{plx^ +f]ixx,+r^jX;)] — o.
coupe S aux points doubles et en huit autres points, dont les arguments vérifient l'équation
o = x^{t)[^2l. ii„{t) ~ Xi{t)] OU {u^ + lu^){u^ — '}.ll^) — u\— '/r u'I —O.
Cette cubique fait donc partie du faisceau (Uu,U,); son équation est
on vérifie aisément qu'elle passe par les sept points
(xj— o, j:-,= o), (.r3=o, a-i = o), (JT, — o, .r3 = o), (j-i = >i, .r,= r^, ^3= v),
c'est-à-dire les pôles principaux de S, et
{Xi:^\,x,= y., a-3=o), {Xi — 1, ^2 = 0, j:'3= \i.), (.r,= o, x,= ij., x^—^j),
c'est-à-dire les points de rencontre des côtés opposés et des diagonales du quadrilatère formé par les pôles principaux.
D'un autre côté, u^, u], ul sont liés par une relation linéaire (n° 95); si donc U, = o est l'équation de la cubique circulaire qui coupe S aux points dont les arguments vérifient la relation u-,[t) = 0, le faisceau de culiiques (Uo, Uo) est identique au faisceau (Uq, U,) : or on trouve, comme plus baut.
( «'7 ) que la cubique y.-U„ — Lu = o a pour é(|uation
.r, [,a(/'.j'J -^ q.r\ -^ rj'l) — .r .,(/->}.. r, ^ i/ii.x,~ r-j.r,')] = o,
et l'on véritie qu'elle passe par les sept points mentionnés plus liant.
Toutes les cubiques du faisceau (/|;L„ — «'^U, = o passent donc par ces points. c. o. F. D.
Systèmes paraboliques de conjugaison.
13ô. Soient f%, e\ ; e.^, e., les couples d'arguments qui correspondent respectivement aux deux points doubles E, et E^ d'une courbe du quatrième degré S; considérons sur cette courbe deux points conjugués dans le système c, -+-('.,, ou dans le système complémentaire —{c, +('2)> c'est-à-dire e\ -+- e'.,. La droite qui les joint toucbe une conique inscrite dans S. et. comme la droite EjEo joint le point d'argument c, au point d'argument e.,. cette conique touche E,E.; dans le cas où S est une cycli(|ue, la conique est donc une parabole.
De même, les droites qui joignent deux points de la cyclique S conjugués dans le système c, -f- e'.,, ou dans le système complémentaire e\ -+- e.^, enveloppent une parabole.
Nous ApiwWevons systèmes parabolùjues de conjugaison les systèmes e, -h e.^. e, -i- e'., et les systèmes complémentaires.
136. Remarque. — L'équation générale des coniques inscrites dans une cyclique
montre que, parmi ces coniques, il n'y a que deux paraboles, et que ces deux courbes ont leurs axes rectangulaires et parallèles respectivement aux directions axiales de la cyclique.
137. Nous avons rappelé plus haut la déiinition des loyers singuliers (l'une cyclique. Dans ce qui suit, nous désignerons par
Foyer singulier F le point de rencontre des tangentes aux brandies f, et e.,,
» F' i> e\ el e',,
n F, » Ci et e'., ,
