II
Les foyers F et F', F, et F, sont situés sur deux droites rectangulaires, se coupant au centre de la cyclique, en leurs milieux; on a F, F', = FF' \ — i. Nous dii'ons que les foyers F et F', F, et F', sont conjugués.
138. Tout cercle décrit d'un foyer singulier d'une cyclique comme centre coupe cette courbe en deux points à distance finie, et la ligne qui joint ces deux points enveloppe une parabole inscrite dans la cyclique.
A deujc- foyers singuliers conjugués correspond la même parabole.
Soit, en effet, un cercle décrit de F comme centre ; ce cercle est tangent aux points E, et Eo aux branches e, et e., de la cyclique; il coupe donc celte courbe, à distance finie, en deux points dont les arguments ont pour somme — (f , + e.,), c'est-à-dire e\ -i- e\,.
De même, les deux points à distance finie où la cyclique est coupée par des cercles ayant leur centre en F', F,, F', sont respectivement conjugués dans les systèmes e^ -h e.,, e\ -f- e.,, e^ + e'.,. c. o. f. d.
139. Reprenons l'équation des coniques inscrites dans une cyclique
et choisissons, comme axes de coordonnées cartésiennes, les axes de la conique G = o. L'équation précédente devient
étant posé
C = rt(.r2-T- r-) + 2 6.r -f- 2 cy -+- d.
Considérons les cercles qui sont bitangents à l'une des coniques représentées par cette équation, et qui ont leur centre sur l'axe de cette conique parallèle à l'axe desa^ L'équation de l'un quelconque U de ces cercles sera, V désignant une constante arbitraire et «- la quantité /- — m-,
0= U := l-x--^in-Y- — l'-m--h 2ÀC + /■- — n-{.r -h}.')"-.
La cyclique S, enveloppe des coniques représentées par l'équation H , a
pour équation
o ^S = C- — l-u- — m- y-~!- l-iii".
Un a donc identiquement
S = C— u + 2ÀC + A-— «= (:r + l'y-,
ou
S = [C + À — « (.r 4- /.' )] [C -+->. + « {.V 4- À' )] -- Li.
Cette identité donne aisément les conséquences suivantes :
1° Les quatre points d'intersection, à distance finie du cercle l' et de la cyclique S, sont à l'intersection de ce cercle avec les deux cercles
dont les centres respectifs sont tixes, (|n(ds que soient la coni(jue inscrite et le cercle bitangent à cette conique, que l'on considère.
2" Les asvmptotes de ces deux cercles coïncident avec les asymptotes de la cyclique; en d'autres termes, leurs centres sont deux foyei's singuliers conjugués de la cyclique.
3" La ligne qui joint les centres de ces deux cercles est parallèle à l'axe (les f.
Par conséquent :
1 iO. Les (hrecli()?ts (i.vKilcs d'iiiir cvcliquc sont celles des droites qm joigneitt le centre aii.r foyers sin mdiers .
Et :
I î I . l'.taiit donnée une coniijite inscrite dans une cycli/fue. les cercles qui touchent doublement cette conique el qui ont leur centre sur l'ave /Hirallèle à u/ie direction axiale donnée coupent la cyclique en quatre points : deu.r de ces points sont conjugués dans un système parabolique, les deu.r autres le sont dans le système parabolique complémentaiie.
Si la direction axiale donnée est celle de la droite FF', les deux systèmes dont il s'agit sont les systèmes c , -f- ^2 ''t '', + <'. ; i'' ^'-^ direction donnée est celle de F, F,, ce sont les systèmes e\ -+- e. et e^ + c...
Centres et foyers singuliers des cycliques homofocales.
142. Nous avons appelé conique principale d'une cyclique l'Iiyperhole équilatère qui passe par les (juatre pôles principaux et le centre de la
cyclique : cette conique est le lieu des centres des coniques inscrites dnns la cyclique.
fM conique principale passe par les milieux des droites qui joignent deux à deux les quatre foyers de la cyclique, situes sur un quelconque des cercles directeurs.
Considérons, en effet, les quatre foyers d'une cyclique S, situés sur le cercle directeur dont le centre est le pôle principal 0. Le lieu îles centres des coniques circonscrites au quadrilatère formé par ces quatre points est une conique qui passe par les points de rencontre des côtés opposés et des diagonales de ce quadrilatère, et parles milieux des six droites qui joignent deux à deux les quatre foyers.
On sait, de plus (n"'* lOG, 124), que par les quatre foyers d'une cyclique, situés sur un cercle directeur, passe une conique (déférente), qui a pour centre le centre de la cyclique.
Si donc on se reporte au théorème du n° 1 10, on peut dire c|ue les quatre pôles principaux et le centre d'une cyclique, les milieux des droites qui joignent deux à deux les foyers situés sur un quelconque des cercles directeurs sont sur une conique, qui est évidemment la conique principale de la cyclique. r.. q. f. d.
