Les cycliques homofocales ont mêmes directions axiales

Car les directions axiales d'une cyclique sont celles des asymptotes de la conique principale.

145. Le lieu des centres des cycliques homofocales est la conique principale, commune à ces cycliques.

Car le centre d'une cyclique est sur la conique principale.

146. Dans une quelconque des coniques inscrites à une cjcli(iue, les deuxfoyers situes sur l'axe [de cette conique) qui est parallèle à une direction axiale donnée sont sur une cubique circulaire, liomofocale à la cyclique et ayant une asymptote parallèle à la direction considérée.

Kn eiïet, d'après le théorème du n" 141, ces deux foyers sont les centres de cercles de rayon nul passant par deux points de lacyclHjue considérées, conjuiïués dans un système paraljoli(|ue : le lieu de ces foyers est donc une cycli([ue S', homofocale à S. Mais, si l'on considère la pai'ahole inscrite dans S, dont l'axe est parallide à la direction axiale donnée (n" DUî, I{/'/»an/iie), on voit qu'un des foyers étant à l'infini dans cette direction, la cyclique S' coupera la droite de l'infini en cinq points. Elle se décomposera donc en la droite de l'infini et en une cubique circulaire, homofocale ;i S, dont une asymptote sera parallèle ;i la direction axiale considérée (').

I i7. Rcman/ite. — Dans un système de cycliques homofocales ne figurent que deux cubiques circulaires, puisque, par un point du plan et en particulier par un point à l'infini, ne passent que deux cycli(|ues du système.

Les deux cubiques que nous avons rencontrées au paragraphe précédent, en considérant successivement les deux directions axiales, sont donc les deux cubiques circulaires faisant partie du systi'uie de cycliques homofocales à S.

Si l'on se reporte au théorème du n" ['M, on voit que :

I4S. Les (leur cubiques circulaires homofocales à une cvc/ir/ue passent par les sommets, les points de rencontre des côtes opposés et des diagonales du e/uadrilatèrc formé par les (piaire pôles principaux de la cycliipie.

Nous appellerons T la cubique circulaire homofocale à S, dont une direction asymptotique est parallèle à la dmile FF ; T, la cubique circulaire homofocale à S, dont une asymptote est parallide à F, F,.

1 »9. L'ne droite parallèle à FF' coupe la cubicjuc T en deux points à distance finie : ces deux points sont les foyers d'une coniijue inscrite clans la cyclique S; le centre de cette conique étant sur laconique principale, on a cette proposition :

Dans une cubique circulaire, homofocale à une cyclique doti/iée. le lieu des milieux des cordes parallèles à la direction asymptotique réelle est la conique principale de la cyclique.

(') M. Darboux a donné un lliL-urcme analogue pour les surfaces du (|uatrit'me ordre qui adineUcnt le cercle à l'infini comme ligne double. iSuf une f/«vve reiimnindhlc de caurbes et ilc surfaces ali^ébriqucs, p. 334. )

La conique principale est donc la conique harmonique du point situé h l'infini, dans la direction asymptotique, sur la cubique circulaire considérée. Si l'on se reporte à des propriétés connues des cubiques et si l'on remarque que la conique principale et la cubique considérée passent par les pôles principaux de la cyclique S, on peut dire que :

Une cubique circulaire, hornofocale à une cyclique donnée, a une asymptote roinnuine a^cc la conique principale de la cyclique.

Les tangentes menées à cette cubique auv pôles principaux de la cyclique sont parallèles à cette asymptote.

\'^0. Le lieu des fovers des coniques inscrites dans une cyclique est le même que le lieu des foyers des coniques inscrites dans toute cyclique hornofocale ( ' ).

(]e lieu se compose, en elTet, des deux cubiques circulaires qui ont mêmes foyers cjue les cycliques considérées.