Le théorème démontré au n" 146 peut s'énoncer ainsi
Le lieu des centres des cercles de rayon /utl passit/it pur deux points d'une cyclique, conjugués dans un système parabolique donné ou dans le système complémentaire, est une cubique circulaire, homofocale à la cyclique.
Si les systèmes paraboliques considérés sont des systèmes complémentaires e^-\-e.,, e, + p'.,, la cubique circulaire correspondante ])asse par les fovers sinjïuliers de la cyclique F et !•" : ces points sont, en effet, les centres (le deux cercles de rayon nul passant par deux points de la cyclique conjugués dans le système e, -t- e^ ou le système complémentaire (n" 138).
Si donc nous nommons aves d'une cyclique les deux droites rectangulaires qui joignent le centre aux foyers singuliers de cette cyclique, nous aurons ce théorème :
152. Dans une cyclique quelconque, homofocale à une cyclique S, les deux foyen singuliers situés sur l'axe qui est parallèle à une direction axiale donnée sont sur une cubique circulaire, Jiomofocale à S, ayant une asymptote parallèle à la direction considérée.
Ainsi, le lieu des foyers des coniques inscrites dans une série de cycliques homofocales et le lieu des foyers singuliers de ces cycliques coïncident.
( ') l\nr, pour un théorème analogue dans l'espace, l'ouvrage cité de M. Darboux, p. S'iJ.
Intersections d'un cercle et d'une cyclique
153. Nous avons vil (•(miment, étant donnt'S le centre d'nne cycli(|iie et trois (les points communs à celte courbe et à une droite, on pouvait dt-terniiner le quatrième point commun. Nous allons traiter une question analogue pour les points d'intersection d'un cercle et d'une cyclique.
1.54. A el li c/ant deiii points d'une rvc/it/iic cu/i/iigues dans un SYStéint donne, ,v, la perpendiculawe e/evee au îudieu ^I du segment AB ern'eloppe une ronùpte ^ .
Cette conique a pour centre et pour foyers le centre et les foyers singuliers de la cyclique.
On obtient la même conique quand on considère, au heu du systèr/ie de conjugaison donné, le système complémentaire.
Soient, en efl'et, sur la perpendiculaire élevée au milieu M du segnu'iit AU. les points A, et B,, délinis comme au n" Vil, c'est-à-dire tels que
Soient
a, h les points nouveaux où la di'oite AB coupe la cyclique considérée S; A . B': a , h' deux couples de points respectivement conjugués dans les
svstèmes s et — s, et situés sur une même droite: £/,, b^; A,, B,; a\, b\ les points définis à l'aide des points a, b; A', B ; a' , b .
comme les points A, et B, le sont à l'aide des points A et B.
Les points A,, B,; a,. //, ; a,, b,; A,. B, sont sur une cyclique S , liomofbcale ;iS (n" i;}2).
Les points A, B; a , // sont sur un cercle (n" 97): je dis ([u'il en est de même des points A,, B,: a\, b\.
Soit, en effet, L le point d'intersection des droites AB. o//. On a. puisque A, est le centre d'un cercle de rayon nul passant par A et B.
de même
L«', = L6', — La'.Liy .
( 1^4 ) Mais A, B; «', // étant sur un cercle, on a
et, par suite,
L\.LB=^La'.LO'
LA,'=LBi==L«,'=L6
Les points A,, B,; a\, b\ sont donc sur un cercle de centre L; de même les points A',, B',; a,, h,. D'un autre coté, les points A,, B, ; «,, b^ sont évidemment sur un cercle, ainsi que les points A',, B', ; a\, h\. Il en résulte que, sur la cyclique S', les points A,, B,; A',, B', sont conjugués dans un même système — t, et que les points «, , 6, ; a\ , //, sont conjugués dans le système n.
Par conséquent (n" 114) :
Les droites A, B, , r/, /;, , A', B', , «', />', .... touchent une conique V inscrite clans la cyc/i(/ue S'.
Le centre de cette conique est, sur la perpendiculaire élevée à la droite AB, à égale distance des perpendiculaires A, B, ^'la,b,; or cette perpendiculaire (n° 121 ) passe par un point fixe qui est le centre de la cyclique S; il en résulte que le centre de cette cyclique coïncide avec le centre de la conique V.
Les axes delà conique V sont parallèles aux directions axiales de la cycli- (jueS' et, par suite, coïncident avec les axes de la cyclique S (n°* 126-144).
Les foyers de la conique V sont les points ii distance finie où l'axe FF' coupe la cubique T et où l'axe F, F', coupe la cubique T,; ce sont donc les points F, F', F,, F', eux-mêmes (n"* 116-152). c. q. f. d.
Corollaire. — Si le système considéré .y est un des systèmes principaux, la conique V est une déférente (n" 107).
Par suite :
155. Les coniques déférentes d'u/ie cyclique ont pour foyers les foyers singuliers de cette courbe.
Soit maintenant un cercle quelconque de centre K coupant une cyclique S aux (juatre points (à distance finie) A, B, a' , l>'\ soient M et m' les milieux des cordes AB et a'b' . Les points A et B sont conjugués dans un système s, les points a' et b' le sont dans le système — s (n" 97).
En vertu du théorème précédent, les droites KM et K/«' touchent une conique V, dont les foyers sont les foyers singuliers de la cyclique S. On peut donc dire, en s'appuyant sur une propriété bien connue des coniques, que les bissectrices des droites KM et Km' (qui sont parallèles aux bissectrices des droites AB et«'^ ) coïncident avec les bissectrices des droites KFet KF',
qui joignent le point K à deux foyers singuliers conjugués F et F' de la cvclique S.
En d'autres ternies, si nous nommons cordes communes à une cyclique et à un cercle un des trois systèmes de deux droites qui passent par les([uatrc points, à distance tinie, où le cercle coupe la cyclique, nous avons ce tliéorème :
15(3. Les bissectrices ilc lout système de cordes communes à une cyclie/ue et à un cercle coïncident avec les bissectrices des droites (/ui joignent le centre du cercle à deux foyers singuliers conjugues de la cyclique.
Ce théorème permet, étant donnés deux loyers singuliei's conjugués F ft I' d'une cyclique et trois points communs à cette cyclique et ii un cei'clc dr déterminer sans ambiguïté le quatrième point d'intersection des deux courbes. Soient, en effet, trois points A, B, a d'une cyclique, situés sur un cercle, dont nous désignerons le centre par K. On mènera par ce point la droite KM perpendiculaire à AB, puis la droite K//^' syméfri([ue de la précédente par rapport aux bissectrices des droites KF et KF' ; le (|aatri('riir pointé', commun au cercle et à la cyclique, est le symétrique du point u |iar rapport à la droite Km' .
Corollaire. — Les bissectrices de tout système de cordes communes à une cyclique et à un cercle ayant son centre sur un des axes de la cycli(|ue sont parallèles aux axes de cette courbe.
1.j7. PnoiiLÈME. — Construire une cyclique connaissant les foyers singuliers et quatre points de cette courbe, non situes sur un cercle.
On construira autant de points de la cyclique qu'on voudra [)ar la métliddc suivante :
Soient a, ,3, --, J5 les arguments des quatre points donnés. En appli(iuanl la construction du paragraphe précédent, on déterminera sur le cercle (a, |3,y) qui passe par les points d'arguments a, [i, y le point de la cyclique dont l'argument est — (a-i-|i4-y ; et de même, sur les cercles (a, p,î5;, [y.,';,^„ (3,v, S) les points d'arguments — (a. -t- ^ + <)), — (x-i-y + S^ -(fi-t-Y + î5).
On combinera ensuite tous ces points trois à trois et l'on obtiemlra, comme on le voit aisément, de nouveaux points de la cyclique, et ainsi de suite.
Tangente en un point. — On peut construire la tangente à la cyclique en un de ses points, le point a par exemple.
On déterminera sur le cercle (a, y, (3) le point d'argument —(a -+-■/ + 13)
)) sur le cercle (5, y, —y — [3 — a) le point » a -h [3 — o
» sur le cercle (a, ô, a -h p — ô) le point » —a a— [3.
Le cercle (a, fi, — ax — fi) sera tangent à la cyclique au point %; il coupe, en effet, cette courbe aux points d'arguments a, |3, — 2a — [il, et son qua- Irii'ino point d'intersection avec la cyclique aura pour argument
c'est-à-dire a. c. q. f. d.
Ceivle oscillateur en un point. — Supposons construites les tangentes à la cyclique aux points d'arguments a et [î.
On déterminera sur le cercle ((3, p, — 2c. — (3) le point d'argument aa — ;3 » sur le cercle (a, [3. la — [3) le point » — 3a.
Le cercle (a, a, — 3a) coupera la cyclique en un quatrième point d'argument — a— a + 3a, c'est-à-dire a. et sera par suite le cercle osculateur à la cyclique au point a.
1.j8. Remarque. — Si les quatre points donnés sont sur un cercle, il faut que les bissectrices de tout système de deux droites passant par ces points soient parallèles aux bissectrices des droites qui joignent le centre du cercle à deux foyers singuliers conjugués F et F' donnés.
Si cette condition n'est pas remplie, la cyclique cherchée sera la courbe du quatrième degré formée par le cercle donné et la droite de l'infini comptée deux fois.
Si cette condition est remplie, il y aura une infinité de cycliques répondant à la (jueslion, et il faudra connaître un nouveau point de l'une d'elles pour la déterminer.
1.j9. On peut compléter de la manière suivante le théorème du n" 154.
Soient A et B deux points d'une cyclique S, conjugués dans le système s. La perpendiculaire élevée au segment AB en son milieu enveloppe une conique V; nous savons d'ailleurs (n° 114) que la droite AB enveloppe une conique C inscrite dans la cyclique S.
( '27 ) si /'u/i fail tourner la voincjuc \ de (^o" autour de son i-enlre. elle devieiil liomolhclifjue à la conique C.
Prenons pouraxes, en coordonnées cartésiennes, les axes de la roni(|iie C. Soient A et B Ji^-. i) les deux points conjugués dans le système s, on la
tangente au sommet H de cette conique coupe la cycli(iiieS; a cl // les deux points conjugués dans le système —s situés sur la tangente an sommet H'. Soit
l'équation du cercle de contact de la conique C; le centre P y., ,ï de ce cercle est le centre de la cyclique S et celui de la conique V.
Les axes de cette dernière conique sont, en direction, parallidcs ;i ceux <le C (n°M54, 140), et, en grandeur, ce sont les distances du [Miini P aux droites élevées perpendiculairement aux segments AH, a'/>' vn leurs tuilieux.
Or on sait que le produit HA.HB est égal à la puissance du poiiil II |>ar rapport au cercle de contact de laconique C (n" ll'.>, § 1\ ); <in a donc
HA.HB ^(cr.)--^-(b-s,y--n'-,
(le même
Les points A, B, a', h' étant sur un cercle, on a
■'ÏÏI - rt)(HÏÏ - rt) = (îTrt'- /;) (ÏT//- h). Remplaçant dans cette égalité les produits HA.HB, Ha'.ti'h' par leurs
( '28 ) valeurs, il vient
(1(17.^ \{\ — \m) ^ b{ip - W a' -W b).
D'après ce qu'on a dit plus haut, les longueurs des axes de la conique V
sont
Pour Taxe parallèle à 0 x a — |(HA -+- IIB).
Pour l'axe parallèle à 0,v (3 - i(H'a'H- H'A').
Le théorème est donc démontré, en vertu de l'égalité précédente.
160. Remarque. — Le point M milieu de la droite AB est, d'après cela, situé sur la courbe, lieu du sommet d'un angle droit dont les côtés restent tangents h deux coniques, C et V, homothétiques à 90°. Il en est de même du point m' , milieu du segment a'h' . Or le lieu précédent est, comme le calcul le montre aisément, une courbe du huitième degré, qui se décompose en deux cycliques, ayant chacune un point double à distance finie. Si l'on se reporte au théorème général du n" 83, on peut énoncer les résultats suivants :
Le lieu du niilieu du segment formé par deux points d'une ryclique S eonjugués dans un système donné est une cyclique ayant un point douhle à distance finie.
Le lieu du milieu, du segment formé par deux points de la cyclique S conjugués dans le système complémentaire du premier est une seconde cyclique à point double.
L'ensemble de ces deux cycliques est le lieu décrit par- le sommet d'un angle droit dont les côtés restent respectivement tangents aux coniques C et \, définies plus haut.
Théorèmes divers.
161 . Les quatre cercles directeurs d'un système de cycliques homofocales font partie de ce système.
Soit, en effet, un cercle de rayon nul passant par deux points d'une cyclique S, conjugués dans un des systèmes principaux, le système o par exemple. La puissance, par rapport à ce cercle, du pôle principal 0, de la cyclique est égale au carré du rayon du cercle directeur de centre 0,
( '^9 ) (n° 101) et, p;ir suite, le centre du cercle de rayon nul considéré est sur le cercle directeur précédent.
Un cercle directeur d'une cyclique est donc le lieu des centies des cei'cles de rayon nul passant par deux points de cette cyclique conjugués dans un système principal. c. q. r. d.
]■• 1 62. Le lieu tics pieds des normales abaissées du eeiilrc d'ti/w eyclir/ue site les eoriif/ites inscrites dans eette cyclique est la coniffue orincipale.
On le vérifie immédiatement par le calcul, en partant de ré(|ualion liénérale des coniques inscrites dans une cyeli([ne. Par conséquent :
Kj^î. Af Itcu des pieds des nornviles tthaissecs du centre tl itne ipielcoiupte des evclitjues d'un système /wfpn/ocal sur les conif/ues inscrites dans cette cyclitpic est la cf}nique principale tlu svstr'mc.
IGl. .\ous savons ([ue la perpendiculaiie élevée en sou milieu au segment formé par deux points d'une cyclique S, conjugués dans un système principal, enveloppe une déférente de cette cyclique. D'après ce qui a été dit au n" 1.5i, cette déférente est inscrite dans la cycli(|ue S', homofocale à S, qui est le lieu des centres des cercles de rayon nul passant par deux points de S conjugués dans le système principal considéré.
Si ce systi'uie est le système o, la cyclique S' sera le cercle direcleur de centre 0, et, par suite, d'après le théorème précédent :
Les pieds des normales ahaissc'es il' un p()le principal d'une cYclitpte sur la déférente correspondante sont sur la conit/ue principale de la tyclitpie.
16.). Le lieu des foyers singuliers des cycliques d'un système liouiol'ocal coïncide avec le lieu des foyers des déférentes de ces courbes (n" l.")j).
Or les déférentes correspondant à un même pôle principal passent par les quatre foyers situés sur le cercle directeur dont ce pôle est le centre. Par conséquent :
Le lieu des foyers tics conit/ues passant par quatre points situés sur un cervle se compose de deux cubiques circulaires, ayant ces quatre points pour foyers.
(SvLVESTEIi.)
Ces deux culjicjues passent par les points de rencontre des cotés o|)[)osés H. . 1-
et des diagonales du quadrilatère formé par les quatre points. Elles passent égalenioiit |)nr le centre du cercle sur lequel ces points sont situés.
Cycliques inscrites.
166. Nous dirons (|ue deux cycliques S et S' sont inscrites l'une dans Tautre si elles se touchent en quatre points (à distance finie) situés sur un cercle.
L'équation générale des cycliques S' iuscrites dans la cyclique S sera, eu
coordonnées cartésiennes,
M = o étant l'équation d'un cercle.
167. Les cercles d'un même système, bitangents à une cyclique S' inscrite dans une cyclique S, coupent cette dernière en quatre points : deux de ces points sont conjugues dans un système J/xe, les deux autres le sont dans le système complémentaire .
En effet, L' = o étant l'équation d'un cercle bitangeut à la cyclique S , on
U = u=A + 2wB-4-C;
10 étant une constante. L'équation de la cyclique S', enveloppe des cercles L',
sera
S'=B'-AC = o.
On a ainsi l'identité
