I -3 c"t'st-à-ilire le produit des dilTérences

Mais on ne peut avoir que si

/( — 1 . Il .

k —y = o (mocl.« I,

relation impossible, puisque k ety sont inférieurs ii /;.

On exprimera donc R, 7\ .... R., /^ en fonction linéaire et homogène de

/ -5- n - I — - et, comme il n'existe pas de relation linéaire // '

et homogène entre R,, H„, il n'existera aucune relation de cette nature

entre les nouvelles fonctions.

De là résulte le théorème suivant :

1. TnEonÈMi; 1. — Toute fonction J\t . holuinorplie (Umstoiit le plan et vérifiant les relations

/[l -r- II',)' )^/\t)(; '' <•' "''"'•>^

s'exprime linéairement en fonction des n fonctions P, / , .. . I'„ / , définies par l'équation

Il n existe entre ces n fonctions aucune relation linéaire et /lomo^é/ie. Elles satisfont aux relations

P/,(/ ' //(,)') -'Pk{t)e '" <■>

\ Pt(t-r-',>') :.= P,,{t)e

;>. THÊontMi: II. — Toute finction linéaire et homogène de 1',. IV. l'„ a

n zéros dans le parallélogramme «o, n o/ ; la somme de ces zéros est - ; w ^ n oj' . à des multiples prés de «o, n y'.

Car cette fonction divisée par P, / devient une l'onction douhlernent pé-

(4 ) I i()ili(|iic, ;iux périodes o>, no/ [fonmiles (3)] ; ses n infinis sont les n zéros de P,, dans le parallélogramme w, «o/, c'est-à-dire les quantités

i(,,, 4-,,,'), !(,,) ur,/)-f- r,)', i(0) H-o/)-H(" — l)(.j',

dont la somme est

■ - (oj + «r.i ).

Dans ce qni suit, lorsque nous parlerons des n zéros d'une fonction linéaire et homogène de P,, .... P„, il s'agira des zéros de cette fonction, compris dans un même parallélogramme to, «o/.

4. Théorkme 111. — // ejcistc n — k) fonctions linéaires et homogènes de

P P„ s' annulant pour k valeurs flonnées de t{t y, t, //, et linéairement

indépendantes ; toute autre fonction linéaire et homogène de P,, ..., P„, ayant les zéros t,, t., t^, sera une fonction linéaire et homogène de celles-là.

Si l'on écrit, en effet, que la fonction

/•( 0 = «, Pi -H ■ • • + «/, P/,- -H . . • f'„ r„

s'annule pour/ = /,, ..., t^, on obtient X- équations linéaires et homogènes entre les constantes a,, ..., a„. Si ces k équations sont distinctes, elles permettent d'exprimer k de ces constantes, par exemple a,, a., «^ en fonction linéaire et homogène de a/,^,, 0^-2- •••' ««•

On a ainsi ,

J\t) =r a,.^i ( P^.^, 4- À, I>, ^ . . . - l^ P;..) + . . . + a„ ( P,,-^ 7, P, -^ . . . - ■7,. Pt) :

f[t) est donc fonction linéaire et homogène des n — k fonctions

f P„ -H!7,P,H-...-FcrA.P/,,

qui s'annulent pour / = /,, t., t^ et sont linéairement indépendantes,

puisque chacune d'elles contient une fonction P^ qui ne figure pas dans l'expression des autres.

Si les X: équations qui lient a,, a. a„ se réduisent à un nombre moindre, k — I par exemple, on exprimera A- — i de ces constantes en fonction linéaire et homogène des [n — k -^ i) autres, et l'on aura

/( 0 = «A [ P/, -^ Àl Pi -i- ••■+ >A-. Pa-, J --•■•+««[ P« -+- ^. P. +-... -^ !7A- , P,,- , J-

Cette fonction s'annulaiit quels que soient r//, a„ pour / = /, /^, on

pourra toujours choisir les [n — /t + i] constantes a^ a,, de façon qu'elle

s'annule pour ii — X- valeurs de t, choisies arbitrairement; on aurait ainsi formé une fonction linéaire et homogène de P,, ..., P„ ayani // zéros de somme quelconque, ce qui est absurde.

La première hypothèse est donc seule admissible, et le théorème est démontré.

."). Remarque. — Soient '^,(0' '^■À^)^ •••' '^<i-k'\'-) le* /; — /.• tonctions '(^) qu'on vient de former, et 'r„+/t(/) une fonction linéaire et homogène de P, P„ quelconque, s'annulant pour les valeurs t^,t.^, ..., //, de la variable, la valeur /, exceptée. Il existe évidemment une intinité de fonctions 'in+i-k[i) satisfaisant à ces conditions.

Je dis qu'il n'existe aucune relation de la forme

n — oL^'-i^ -H x.T, +...-I- x„i.'r„/,H- 3(„i^^,'r„/,+, +...4- a„+,/,y.\,+,-/,+...+ :<„'r„:

car, si une pareille relation existait, on en déduirait, en faisant i — /,,

ce qui entraine, puis(|ue la fonction 'r„^,A(0 'le s'annule pas pour t ■= l,. On aurait ainsi

et, par suite, puisque les fonctions 'J?, 'r„A sont linéairement indépendantes,

On peut donc former n fonctions y?,, ..., 'J.'„ linéaires et homogènes de Pi, P„, linéairement indépendantes, et satisfaisant aux conditions suivantes :

Les n — k premières 'J?,, ..., aVA s'annulent pour / = /,,...,//..

La fonction î'„^,A. s'annule pour^ = /^,, ...,/,^i, /,vi. •••./*(' = '- - -^'I-

Des théorèmes II et III résulte la proposition suivante :

G. Théorème IV. — Etant donnés^Wltis an i)ai allé la gramme oj, n^ , n points dont les arguments ont pour somme - (w + hm') à des rtudtiples près de (o, «oj'.

on peut former une et une seule fonction linéaire et homogène de P , P„

s'annulant en ces n points.

7. TiiiiouÈME V. — Deux fonctions P n'ont pas de zéro commun. Car les zéros de Pa+i(0 sont, dans un parallélogramme oj, /h./.

Pour (]ue P/, m(0 el Pa + i(0 eussent un zéro commun, il Aiudrait (jue

1 ( f,, + Oj' ) — /.■ !- /i o/ = ^ ( W + '.)' ) — A ' h /' ''•)' -+- p''l -^ /' o' f,)' .

p et p' étant entiers, ou

- (A' — A) " rW{h' — A ) H- p'-) + nrj'rji'.

Le rapport — étant imaginaire, cette relation entraine les deux suivantes :

k et/' étant inférieurs ;i n, on aura /• — /■ , et les deux fonctions P^m. IV^ i

sont identiques.

8. TiiÉor.KME YI. — Entre {ji+ i) fonctions. f^[t) fn^i'j)' holomorphes

dans tout le plan et satisfaisant aux relations

/(i + w) ^ ni),

InîTil

oii n est un entier positif h une constante (ptelcoïKjue. il et o> des cjuantitcs

telles cpie le coefficient de \j — \ , dans le (puuicnt — , soit positif, il c ciste une

relation linéaire et homogène.

Posons, en effet,

A désignant une constante; on a

9(< -H «co') = ©(O*^'

Si /. est tel que

« -r 2/117:— ^ /l- IT. ^ ^

les (n — \) fonctions o(/] vériiient les relations ( i) et ; 2) et sont fonctions linéaires et homogènes de P,, .... P„. JI existe donc entre elles une relation linéaire et homogène et la même relation subsiste entre les tniuiions f,{f) ^^,if'-

Expression des coordonnées des points d'une courbe de genre un.

9. Le P. d'Esclaibes a mis les coordonnées des points d"une courhe (inelconque, de genre un et de degré n, sous la forme

• H(/,--/,)...Hu,--/„)'

-V, et iiîj sont des constantes; on a, de plus, 1 X, +- y., -

-r- x„ = y, — ... ^ •/„ — •'. // K — ■?. /i iW,

H(f) est la fonction ordinaire de Jacohi; //. // , //,. //, sont des entiers; r d y sont des fonctions doublement périodiques de /,, aux périodes 2K el

Pour transformer ces expressions, posons

f) étant une constante.

Les n zéros du dénominateur de r sont

Nous choisirons H de façon que leur somme soit - ,oj -t- /no , c'est-à-dire

(') DTscLAiBES, Tlièse. p. ly cl 28.

qu'on ait

(, 5 lus) y I + . . . ^- y„ — /i 0 :^ - ( 0. + n '.)').

On pourra, par suite (théorème IV), former une fonction

ayant cesn zéros.

Les zéros du numérateur de œ sont a, — 9, a^ — H, ..., y.,, — H; on tenant compte des relations (5) et (5 bis'}, on trouve, pour leur somme,

a, — 0 -^ y.2 — S + . . . + x,, — 0 = - ( 0) -I- rt oj') -1- /( 0) + /;/( 'w'

et, par suite, on peut former une fonction

admettant ces n zéros.

La fonction

C,Pi+...+ C„P„

admet, d'après les formules (3), les périodes to, «to'ou aK et 2/K', comme la fonction x-{t); elle a, de plus, mêmes zéros et mêmes infinis que cette fonction, dont elle ne ditTère, par suite, que par un facteur constant. On a

ainsi

et, de même,

A, A„; B, B„; C, C,; étant des constantes. En coordonnées

homogènes, on pourra donc mettre les coordonnées des points d'une courbe de t;enre un et de deeré /; sous la forme

: .ri = A1P1-...+ A„P„, (6) x, = B,P,+... + B„P„,

Si l'on change t en t -+- w, ou en t 4- no/, ou retrouve [formules (3 1] les mêmes valeurs proportionnelles de x,, x.^, x.^ et, par suite, le même point de la courl'c.

( 9 ) lu. Imrrscmcril. soil S iiiio coorl)e représentée par des équations de la

forme (6), où A, C„ désignent des constantes arl)itraires.

La courbe S est algébrique, car il existe une relation algébrique entre les

deux fonctions '—{t) et -r(')' ^"6 nous désignerons respectivement par

X(i) et Y(;), qui sont doublement périodiques aux mêmes périodes o, /;o/; de plus, il est clair que la courbe S ne saurait se décomposer en deux courbes algébriques dillerentes.

La courbe S est, en général, de degré /^ car une droite quelconque

la coupe en des points dont les arguments vérifient lÏMjuation

Cette équation ayant (tii. II) n zéros, /,, t.., ..., /„ dans tout parallélogramme w, TiLo', il y aura, en général, n points d'intersection de la droite et de la courbe : celle-ci sera donc de dci-ré n.

Il n'existera que deux cas d'exception :

1° A un ou plusieurs des arguments /,,...,/„ ne correspond aucun point de la courbe S; en d'autres termes, on aura, par exemple.

En ce cas, x^ it), x.,{t), x.^[t) ont un ou plusieurs zéros communs.

2° A deux ou plusieurs des arguments t^, t.,. . . . , /„ correspond le même point de la courbe; on a, par exemple,

En considérant une autre droite, on obtiendra des relations analogues, de sorte que l'on aura pour une infinité de systèmes de valeurs de a et de '-^ comprises dans un même parallélogramme (o, ruo

(7) \iy)^\{y.), Y(S)-^Y(:<|.

'i étant di fièrent de ■/..

Je dis que dans ce cas la courbe S est une c(uirlie di' degré inférieur ;i // comptée plusieurs fois, c'est-à-dire i\v\à tout point de celle courbe correspondent deux ou plusieurs valeurs de l'argument /; ou que, étant donnée dans un parallélogramme w, rno\ une valeur qiielconf[iie de a. on trouvera