II

( lo )

ilaiis ce parallélogramme une ou plusieurs valeurs de '^., différentes de v, telles que les équations (7) soient vérifiées.

Soit, en effet, ? une fonction d'une variable a définie par la relation

Posons

A une valeur de a correspondent, m étant l'ordre de la fonction doublement périodique aux périodes w, nco', \{t), m séries de valeurs de p,

y. -i- h',i -^ nh' 'yi , ^| -f- /cjj -h nii ',)' , . . ., ^,,,-1 -+- hv -^ ii/i'm',

h et h étant des entiers quelconques, et par suite m valeurs de U(x).

Or nous verrons plus loin ; n° 30) que la fonction % a dans un parallélogramme co, iihi' un nombre limité de points critiques, et que, si la variable « tourne autour d'un de ces points, les m séries de valeurs de la fonction ^ en ce point se permutent entre elles. Il en résulte que les m valeurs de U(5'.) sont également permutées entre elles, et dès lors toute fonction symétrique de ces valeurs est fonction monodrome de a dans tout le plan.

Si l'on augmente a d'une période (w ou /z^'), l'équation

qui définit p, ne change pas; par conséquent, l'ensemble des m valeurs de U(a) ne change pas, et les fonctions symétriques de ces valeurs demeurent invariables : elles sont, par suite, fonctions doublement périodiques de a. et U(a) satisfait à une relation de la forme

oii A(a), ..., >;(x) sont des fonctions doublement périodiques de 7., aux périodes w, m»' .

Remarquons maintenant que l'équation

donne pour [i la série de valeurs

y. -^ h (,i -r nli' (,)'

auxquelles correspond pour U(a) la valeur zéro. On a donc

et l'fqiuitioii en U devient, en supprimant le facteur U,

Or, par hypothèse, on a, pour une infinité de valeurs de i. et de [i, eoinprises dans un même parallélogramme,

c'est-à-dire

il en résulte que la fonction douldement périodique lM(y.) s'annule pour une infinité de valeurs de n. comprises dans un même parallélogramme <), /?(.)' : elle est, par suite, idcnti([uement nulle, et l'équation (U) a, (jucd (|ue soit a, une racine nulle.

On peut donc, quel que soit a, trouver dans un pai'allélogramnie w, //(./, une valeur au moins de fi, différente de x, telle que l'on ait à la fois