On peut donc énoncer les résultats suivants
i" Si les fonctions «r, (/), x.^[t), ■r^[l) n'ont aucun zéro commun e( si les équations (7) n'ont d'autres solutions communes en [i que celles de la
forme
a -t- A f.) -f- iih' ',1' ,
la courbe S est de degré n.
2° Si les fonctions x-^it), x.,{l), ■t^{i) ont X- zéros communs, les équations (7) n'avant pas d'autres solutions communes en [i ([ue celles de hi forme
X + /((il -h /l/l' ',)' ,
la courbe S est de degré n — k.
Car une droite
coupe cette courbe en n — k points, puisque les fonctions doublemenl périodiques X(/) et Y(^) sont d'ordre n — k et ont mêmes infinis.
3" Si les é(|uations (7) ont d'autres solutions en fi que celles de la ferme
la coiirhe S sera une eouihe de degré inférieur à n comptée plusieurs fois; nous dirons, dans ce cas, que la courbe S n'est pas {/réductible .
Relations du second degré.
12. Avant d'aller plus loin, nous allons étudier et former les relations du second degré qui lient les fonctions P, [t], .... ?„(/)•
Nommons /w«/^ d'un produit P/,+i{/) P^'+i(/)la somme k + k, ou plutôt le reste de la division de X- h- k' par «.
Théorème. — Entre trois fonctions P;,^, P^ + i de même poids existe une relation linéaire et liomogéne.
On a, en effet [équation (3)],
I i'/,^,u-+-oO P,,v,(< + w) =P/,^,(oP/i-+i(0.
et (X: -^ k') étant le même, à des multiples près de n, pour trois produits de même poids, le théorème est démontré (théorème YI). v
13. Théorème. — Toute relation linéaire et homogène entre des Jonctions du
second degré en P,, Po, ..., l*„, 7-espectivement de poids p, p', p" o
Op", ... entraine les conditions
9p=0, 'Jj,=:0, cp^,"=0, ....
Supposons, en eli'et, qu'on ait
Up, ... étant des constantes.
Changeons, dans cette équation, / en /-i-o/; elle devient, en vertu des relations (8),
(9) o = a„'^,,c ''' " + fl,,o,,e ''' " +
„ ( 71 , l'Tl
Les exponentielles e " , e " , ... ont des valeurs différentes, puisque/.», //, ... sont différents et inférieurs à «; si donc on élimine Op entre les
( '3 ) relations (8') et (9), o^-, Op, ... ne disparaîtront pas dans l'éqnation ainsi
ol)tenue
O = Ù,, Oj, ^ ^,,-0,,'^.
En ehangeant / en i-hto', on obtient nne équation de même forme, et si entre cette équation et la précédente on élimine o,,, les fonctions o^, , ... ne disparaissent pas dans l'écjuation nouvelle
Continuant ainsi, on arrive à une dernière équation d'où, en remontant de proche en proche, on déduit
. . . , 'Jp- = o, z.,, = o, ç.,, =- o.
14. Toutes les relations du second degré entre P,, ..., P„ s'obtiendront donc en formant les relations qui lieut les produits P^iP^; de même poids. On les formera de la manière suivante :
i" Cas (le // ÏDipair; 11 = 2v + 1. — Les carrés P^, P^^, .... P;) sont de poids différents; car, pour que deux d'entre eux fussent de même poids, il faudrait que
2/.=2/>' [ni()(l.(2v J- r)]
ou
/> — />' ^^ o [ inixi .(;?•/ -t- I )] ,
ce qui est impossible, puisque k et /: varient entre o et iv. On formera le Tableau suivant :
Knnctions coi'resiioiuliiiiti>s, l'oi.U. — — ^
o P^ Po 1',,^, V, P,,, ... IM',^, Pv^, Pv + 2
3 P^ P3 p, p, p,.,., Pv+2 Pv-.
2 P^,, Pv-^>Pv Pv^.l'-, I P^v^J'l
I P;^: Pv^sPv^, P, P2
3 P.;., Pv..;Pv-, p, P3
Il est manifeste que chaque ligne renferme v 4- i fonctions.
delà posé, en vertu du théorème du n" 12, il existe entre trois ('onctions de même poids une relation linéaire et homogène
> lo ) Al',^, r'/,+, + Bl>/,+,P/,+, + CP,^,P, „ = o.
Aucun des coefficients A, B, G n'est nul ; car, si par exemple Aétait nul, P^^.. et P^^, ou Py+, auraient un zéro commun, ce qui est impossible (théorème Y).
On pourra donc exprimer v — i des fonctions de chaque ligne en fonction linéaire et homogène des deux autres, ce qui donnera v — r équations de la forme (lo); foute relation du second degré de poids k -h k' est évidemment une combinaison linéaire de celles-là.
Comme il y a 2v -i- i lignes, on a en tout (2v h- i) (v — i) ou ^ «(« — 3) l'ehitions du second degré.
Les premiers membres de ces relations sont linéairement indépendants, car chacun d'eux renferme un produit P,P; qui n'entre pas dans les autres.
2° Cas de n pair; n -= 2v. — On formera le Tableau :
Fonctions correspondante^.
l'oids
P^ P, P,v PalV.^, PvIV. P^^i
P; Pa P.V., P^.,
a(v-i).. Po Pv+iPv-, PI
1 P2 Pi P3P2V Pv^av,
■i P3 P2 P4P, Pv.bPv^
3v ...... Pv.-,Pv P, P.V
Dans les lignes de poids pairs, il y a v -t- i éléments, et dans celles de poids impairs, v; on aura en tout, puisqu'il y a v lignes de poids pairs et v de poids impairs, v(v — i) -f- v(v — 2) relations ou ~ri{n — 3) relations homogènes et du second degré en P,, .... P„.
14 bis. Ainsi, quel que soit n, il y a entre P,, . . . , P„],n{n — 3) relations homogènes, du second degré; il n'existe entre les premiers membi-es de ces relations aucune relation linéaire et homogène identique; enfin, toute relation du second degré en P,, ..., P„ est une combinaison linéaire de celles-lii.
Equations fondamentales.
