I.). Revenons à la eourbe S définie par les relations
(fi^ -, .r,= B,P,+ ^B„P„.
S'il n'existe entre a?,, .z-.,, ^'3 aucune relation linéaire et liomogène (auquel cas la courbe S serait une droite), on peut former (/<— 3) fonctions
linéaires et homogènes de P,, .... P„, que l'on désignera par a-,,, .r,
c„, telles qu'il n'y ait pas de relation linéaire et liomogène entre .r,, a.,.
Par conséquent, on exprimera P,, ..., P„ en fonction linéaire et homogène de X,, .Tj, . . . , ,1-,;, et si l'on poi'te ces valeurs de P,, .... P„ dans les ^n[n — 3) relations du second degré formées plus haut, on obtient
équations de la forme
I 0= Au'-P?-!- A.5.T4,r5 + . . .-!- A„„.r;, -i-<I»i.rv-t-. . .4- Xi>r„4-i2,,
^ ^ o = B;ixf-i- + B„„.r;i + «I>,.rv-t-...4-X,.r„--îi„
{ o = Lii-rl -+- Lii.i-;Jr.^ -+-... ^ L„„.r;-, + i>?,.r:, + . . . ^- Xg.r,, -h Hf,.
Dans ces équations,
Aj.,, A.,, A„„, B,,.,, ..., B„„ ..., L.,^, ..., L,„, sont des constantes;
«[), \ , <Iv:, ..., Xô des polynômes homogènes du premiei' ordre:
a,, 12,, • . • , --0 des polynômes homogènes du second ordre en .r,, a,, .x-.,.
Les équations /ôWame«to/^^ (ii) sont au nombre de ^/i{'i — 3); (dles
sont du premier degré par rapport aux ^n[n — 3) fonctions x':^, x.,œ^
xl, x.,, a-., ..., .r„, qu'elles permettront d'exprimer en fonction de x,.
Le déterminant de ces équations est le polynôme de degré (/* — 3) en
Ly, U;
Un, <ï>5
Nous le désignerons par L^[x^,x.,,x.i).
Dans le cas où ce polynôme n'est pas identiquement nul, on tiicra des équations (i i) l'expression de x\, x.,x^, . . . , x„ sous la forme
:/..., l.f..r-^=f,,^, ..., A.r;,=/„„, Aa\ = /i, ..., lx„ — /„;
J\,,, f,,^ /,',„ sont des polynômes de degré n — \; J\, fa Jl's polynômes
de degré « — 2 en .r,, x,., x^, qu'on obtient sous forme de déterminants.
Restant encore dans le cas où A n'est pas identiquement nul, on pourra remplacer le système d'équations (11) par le système suivant : de i(« — 3)(/i — 2) des équations (11), on tirera les expressions des '(« — 3)(n — 2) fonctions x\, x,,x- r'^, sous la forme
■ -^yjx„ + '.11,
-H 'ji.i,
Cette résolution sera toujours possible, car, A n'étant pas identiquement nul, l'un au moins des déterminants mineurs dont les lignes sont formées par les coefficients de x'^, x,,Xs, .. . , ar dans une même équation (i i) n'est pas nul.
Portant ces valeurs de .r^, . . . , xl dans les {n — 3) autres équations (ri), on obtient (n — 3) relations de la forme
/»,^-j -i- «i.rj-t-. . .+ (/, .r„ — /), =0, '"■l'X-!, -i- -^Ii-i'n —Pi =0,
qn~2X„—p„-3 — 0.
Dans ces relations, ç,, '}/, ..., /,, ..., m,, «,, ..., y,- désignent des polynômes du premier degré en x,, x.,, x^; (o, et />, sont des polynômes du second
degré.
Le (létorininarit du système des équations (12 ) et ((3; est la fonction
m^ II,
Il est é^^al il ^[■^',,.z•2,.^'•i) à un facteur constant pri/s.
Propriétés de la fonction \(x,,,c.., x,,).
I(i. TllEor.ÈMF.. — Le détcmunant \ se reproduit à tin fiteleur eunstant /irès. si Ton prend pour x^, x^, ..., ,r„ d'autres fo/ietions linéaires cl /lo/noifènes deP,, . . . , P„ que ce/ies primitivement c/ioisies.
Soient, en effet, .r'., .»•', . . ., .r„ ces nouvelles fonctions; nous admettrons
qu'il n'y a pas de relation linéaire et homogène entre r,, .x\^. .r^, .r. c)^.
On pourra, par suite, exprimer .r,,, .rj, ..., .r„ en fonction linéaii'c de r,,
JT; = /., ^'i H- /.,.r, -t- I3.1, H- }.;.r', H- . . . + "/.„ .«■;„ Xs =;j.|.r, -f- ^-;/i.^■; + . . . 4- ,
Comme il n'existe pas de relation linéaire et homogène entre r,, (\,. r
.<-.. . . . , .r'„, le déterminant
sera dillerent de zéro.
Portons maintenant les valeurs précédentes de x^, tions (il), il vient
Aii ( /, .r, + . . . -+- >.i .î-; -^ . . . )- + A45 ( À, j:, -t- . . . ) ( r^, .<■, +
. , .r„ dans les e([ua
Si l'on ordonne ceS:^«(« — 3) équations par rapport à
et si l'on lorme le déterminant dos coefficients de ces quaniités, on voit aisément qn'on obtient le délcnninant A, mnltiplié par D""'.
1 7 . Theouème. — Qit i//d la cour1>e S est de degrc n, la Jonction A ( o', , .r^, x^ ) n est pas identiquement nulle.
Lemmf,. — On a vn plus haut (|ue les premiers membres des T,n{n — 3) relations do second degré qui lient P,, Po, ..., P„ sont linéairement indépendants; or c'est en substituant à P,, ..., P„ dans ces relations leurs valeurs en fonction de .r, x„ qu'on a obtenu les équations (ii); il en
résulte que les premiers membres de ces équations sont linéairement indépendants, et qu'on ne pourra jamais arriver à une identité en combinant linéairement leurs premiers membres.
Cela posé, supposons que la fonction A(a",,a-;, .rj) soit identiquement nulle; elle restera nulle si l'on y fait une substitution linéaire quelconque, ielle que
Kn résolvant ces relations par rapport à x\, x'.,, x.^, il vient
j-i = ).,j:-, + fx,.r,-hvi.r3,
Nous choisirons les constantes l.. P-- ^2. '^■3. i-'-s- ''n fie façon que x'.,{t) et x'^{t), c'est-à-dire \.^x,[t) + .. . et 'k^Xt[t) -h . . . s'annulent pour une valeur a de t. On aura donc
\ o = >.2j;,(3:) -f-fi,a'o{a) +-/2j;3{a), ] o — l^x^ia) + ix.iX.,{y.) +ViX^{y.).
(]ela pose, renq^laçons dans les équations (i 1) ar,, x.,, .r., par leurs valeurs en x\, a\,, a',. Deux cas sont à distinguer si \{xt,x.,,x.^) est identiquement nul.
(A). Les déterminants mineurs, dont les lignes sont formées des coefficients de .r';, .r,,.^?.,, . . ., x], dans une même équation (11), ne sont pas tous nuls; en ce cas, éliminant x\,x^x--,, ..., xi entre les équations (11), on obtient [n — 3) équations de la forme (i3)
(i3) G = w,Ji+ /;,a-.5 + ... + (/,. r„ — /j, (<■= I, 2, . . ., « — 3),
/'' q, étant du premier degré en x\ , x'.,, x.^,pi du second.
Li- (le t(M'ini liant A
'Jj "î ■ • • '/2
»n-% 'Jn-
pst, par hypothèse, identiquement nul. Le iléterminant ohtenu en remplaçant chaque élément du précédent par le coefficient de .r', dans cet élément est également nul, puisque c'est le coefficient du terme le plus élevé en .<-, dans A. On pourra donc, en additionnant les premiers membres des relations (i3), multipliés par des constantes convenables, faire disparaître r\ des
coefiicients de r., a\^, r„ dans l'équation ainsi obtenue. Cette équation
sera dès lors de la forme
(i3 bis) jr', (a.r Si l'on V l'ail /
- . . .— lr„) -i- ./■', (a' .r.,-h . ■ ■ -r- /'•'"„ y., il reste. puis(|ae x'.J^cc) = .ï'., A, j- ',-(>.) =o, ce qui eniraine une des conditions
A.Xr--.
Si •r\{y.) est nul, on voit parles relations qui lient r,, .r., que l'on aura 'Vj^y. =: j:^(x) = jv, (a) = o. Or a, étant une quantité arbitraire, pourra toujours être choisie de façon (jue ces dernières égalités n'aient pas lieu. Il faut donc que A, soit nul, et re{|uation ( l'i bis s'écrira
( o,.r, -H Oja-j -
pn •'■« ) •
0 p'„ étant des constantes.
Si J^\,{t) et -r'^fj) n'ont (|ue le zéro commun / = x, les /( — ij zéros de x-j autres que a devront, en vertu de l'équation précédente, annuler la fonction p\.r\ -î- ... H- ;„r„. Cette fonction (théorème III) sera donc idcnti(|ueà.r',, ii un facteur constant [)ri's. De même la fonction (p,f, — ...-+- i,rf„) ne différera de j-', que par un fadeur constant, et l'équation E sera de la forme
z étant une constante. Il faudra nécessairement (|ue cette constante soit nulle; on trouve donc une identité en combinant linéairement les relations (i i), ce que nous savons être impossible.
Il laul il(tnc, pour que A puisse être identiquement nul, que x'.,{t) etx;(/) ;iieiit d'iiulres zéros communs que le zéro a, et ceux de la forme
y. + h ',) -H nli' ',)' .
Soit /5 un (le ('(is zéros communs. On aura
Mais les quantités l,, ...,V3 ne sont assujetties qu'à satisfaire aux relations (a); les relations (a) et (/3) devront donc être identiques, et l'on aura
^i(P)^,r,(3)^a-;,(;S)^ j"i(a) ^2(5!) .î'sia)
^ — a n'étant ni nul, ni égal à nn multiple des périodes (o, nco'.
Comme a a été choisi arbitrairement, ,3 sera fonction de a, à moins (|ue l'on n'ait
(B). Si tous les déterminants mineurs dont on a pailé plus haut (A) sont nuls, on obtiendra, par l'élimination de x\, x.,x-^, ..., xl entre les équations (i i), « — 2 relations au moins de la forme ( i3), et, en les combinant linéairement, on pourra former une équation telle que (i3 bis). On retombe ainsi dans le cas précédent, et les mêmes conclusions subsistent.
Par conséquent :
La fond ion \{x^,Xn,x.^) ne peut être identiquement nulle que dans deux cas :
i" x,[l), x.,(t), x.j[l) ont un ou plusieurs zéros communs ;
2" Étant toujours posés \^ —, Y = —, les deux équations
\(?) = X(st), V(^)=Y(a)
ont, quel que soit x, d'autres solutions communes en [i que celles de la/orme
y. H- //'.) + nié ',\' . En d'autres termes :
Af.r,, .r.,, J".i) ne peut être identiquement ruil que si la courbe S n'est pas de degré n .
