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14. Jusqu'ici nous n'avons étudié les propriétés des déterminants infinis que sous la supposition que ces déterminants fussent de la forme normale. Il est facile de voir qu'on peut ramener à ce cas une classe plus générale de déterminants infinis. Supposons, en effet, que les quantités 4, satisfassent aux conditions suivantes: 1° le produit [[,4; converge ab-

solument; 2° il existe une suite de quantités æ, (£ = — © .. + ©) telle que la série double | / di 2 D Ans ES El

converge absolument. Je dis que le déterminant infini

D = [Aa se- — D .,+ 0

converge et jouit des mêmes propriétés qu'un déterminant de la forme normale.

20 Helge von Koch.

in eflet, posons

et formons le déterminant infini RES ET RE 3

ce déterminant étant de la forme normale, on peut lui appliquer la for-

mule (b) (n° 7); désignons par V,, et V, ce que deviennent V,, et Vs

nt

en remplaçant les 4, par les 4,; on aura

VV ++ Vi +.

DEbivia

or on voit aisément que

V4 FA Va ES = Ve,

m et À désignant des entiers quelconques. Par conséquent, le déterminant D converge, a la même valeur que D et peut, de plus, être représenté par la formule suivante:

DEN VE te Ve TEE TE 2 DL

En prenant cette formule pour point de départ, on voit, tout à faitcomme dans le cas des déterminants de la forme normale, que les théorèmes du n° 7 ainsi que ceux des n° 8, 12 et 13 s'appliquent aussi au cas du déterminant D. Au contraire, le théorème du n° 9 subit la légère modification que voici.

Remplaçons dans le déterminant D les éléments de la ligne 2:

AË (Æ=—o,,+ @œ)

par des quantités

Le %; Pr — Ua ”. (=—..+ œ)

dont les valeurs absolues sont inférieures à un nombre donné, et soit D’ le nouveau déterminant; on pourra écrire

D = Lib

or, en vertu des remarques du n° 9, et d'après ce qui vient d'être dé-

montré, il est clair que la valeur de D’ ne change pas si l’on multiplie 117 . : I

les éléments de chaque ligne à par -— et ceux de chaque colonne k# par wi

æ,; en d’autres termes, si l’on désigne par D’ le déterminant obtenu en

remplaçant dans D les éléments de la ligne ? par les quantites y,, on aura

D +) — Lis

Le théorème suivant se trouve donc démontré.

Soit un déterminant dont les éléments 4, satisfont aux conditions énoncées plus haut; si l’on remplace les éléments d’une ligne à quelconque:

par des quantités

Ux (&=—00,.,+ %)

telles que les valeurs absolues des quantités — dj Ty

n’excédent pas toute limite, le nouveau déterminant convergera et pourra être développé suivant les quantités y, de la manière ordinaire. Par exemple, s'il existe une quantité x telle que la série

! ii —k = Dot GZD - converge absolument, on peut prendre y = X (k=—.,+ ©)

et, en remplaçant dans le déterminant D les éléments 4, de la ligne à par les quantités y, = *, on voit que le nouveau déterminant s'exprime

22 Helge von Koch.

comme une série ordonnée suivant les puissances de x, dont les coefficients sont les mineurs du premier ordre appartenant à ladite ligne.

15. Avant de terminer ce paragraphe, il convient de dire quelques mots sur les déterminants infinis dont les éléments sont des fonctions analytiques d'une variable indépendante ».

Soit

D(p) = (Au(o)}e -o.+ o

un déterminant infini où les 4,(9) sont de telles fonctions, et posons, comme plus haut,

D,,(p) Se (oies

soit Z' un certain continuum dans le plan représentatif de la variable en dedans et sur la linite duquel les fonctions 4,, sont finies et continues. Nous dirons que le déterminant D est uniformément convergent dans le domaine T si, après avoir fixé arbitrairement la quantité positive 9, on peut trouver un entier positif #’ tel que l’on ait

dés que # > n', pour des valeurs quelconques de l’entier positif p et pour toute valeur de » en dedans ou sur la limite de 7.

Cela posé, si le déterminant D converge uniformément dans 7, il représente dans ce domaine une branche uniforme d’une certaine fonction analytique.

En effet, la série du second membre de l'égalité

DE DDSND NERR END D EEE

converge uniformément en dedans de 7.

Supposons maintenant que les fonctions 4,,(0) satisfassent à la condition suivante: si l'on pose A,(0) = au(p), Ai(o) = 1 + a;(p), la série double

22, ap)

converge uniformément dans 2. Il est clair d’abord que le déterminant D sera de la forme normale pour chaque point » de 7. De plus, il est facile de voir qu'il convergera uniformément en dedans de ce domaine. En effet, le développement ((a), n° 7) est uniformément convergent puisque l'inégalité (a) a lieu pour toute valeur de 9 appartenant à T'et que le développement (a') de P converge uniformément en dedans de ce domaine.

Mais le développement (a) n’est pas le seul dont la convergence est uniforme; cette propriété appartient à tous les autres développements du n° 7. Considérons d’abord la formule (d). Puisque tous les mineurs du déterminant D(9) sont plus petits en valeur absolue qu’un certain nombre positif et que la série |