Ax(p

converge uniformément dans l’intérieur de 7’, il en sera de même de la série | 2:| Au(o)ax(p) | et par suite de

ZiAu(p)an(o) = D(p).

La méme chose se démontre d'une maniere analogue pour les développements (e), (f) et (g), et il ne reste qu'a examiner la formule (h). Ecrivons cette formule ainsi qu'il suit:

(h) FES ACT EN ST RTS C0 CT

+ oo +o

? Une série double Lu Z Puy où les @, sont des fonctions finies et continues d'un

nombre quelconque de variables, laquelle converge pour chaque point d’un certain domaine T, sera dite uniformément convergente dans ce domaine, si à chaque quantité positive à

correspondent deux entiers #', n', tels que lon ait

| Z, 2, Eu» | & 0]

dès que m>m,n >>n et pour chaque point en dedans ou sur la limite de T', De même, pour le cas des séries d'ordre de multiplicité 3, 4, etc. nous adopterons des défini-

tions analogues,

24 Helge von Koch. | où

App pa Apr

| LDC PP Pq 1, 111 S"— Ÿ ; DIRES > FANS PSP A re

P,q | lop «

qq | p,q,r «d (4 EN

TP rq rr

posons, pour un moment, + 00 U; = > | A | (i=— @0..+ 0) co

et développons le produit P = [;(1 + «;) de la manière suivante:

() P=IHE+E'+E"+. HET.

2 — > u,, E '— Du,u,, DD 4 ete

il est clair d'abord que

SE Le | < SE a ESS

ee SU es

et que, par conséquent, il suffit pour notre but de démontrer que la série (h) converge uniformément. Si, à cet effet; nous écrivons P sous la forme

(h) P = P; SE (p, — }p.) rie °& + (Pr ro De FF sie où Le ‘ +r Port a A G Et U;); Por a PAU E Ets U;),

nous savons que la série 2,,(py — py 1) converge uniformément en dedans de 7. Donc, à chaque quantité positive 9 correspond un entier # tel que l'on ait

pe (Pr VS Det) < ()

dès que x > n’ et pour toute valeur de » en dedans de T. Or l’expression Py—Yy 1 Se compose de termes positifs formés en multipliant cer-

taines des quantités w,, le degré de ces termes par rapport aux %, étant au plus égal à ». Donc tous les termes de l'expression

Dax m=n

c’est-à-dire tous les termes de P dont le degré par rapport aux , excède n — 1, se trouvent aussi dans la somme

2 (Pr as: D):

d'où l’on voit que

Le]

> <5, m=n donc la série (h) et a fortiori la série (h) convergent uniformément à l’in- [æ] térieur de 7.

Mais il y a plus: toutes les séries 8°” qui composent la série (h) convergent aussi uniformément en dedans de 2. Pour le voir, démontrons ? . Aie (m) . , RC:

d'abord que chaque série ZX” converge uniformément. La série