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Him a
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on u, fm
par zéro; cette dernière série qui n’est autre chose que le produit
Zu : Zu, a Z Um
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est évidemment uniformément convergente puisque la série Zu. converpe . , . À (m) uniformément; il en est donc de même de 2°". Or on a
JANTES La im |
valeur absolue de | : nee < Un Une 0 Un
Ho (CR 2 (4/7 Dim
donc la série 8°” est uniformément convergente en dedans de 7. v, Koch. 4
26 Helge von Koch.
16. Supposons, comme dans le numéro précédent, que les fonctions A, soient telles que la série double Z,X,|a;(9)| converge uniformément en dedans de 7. Soient y, une suite de constantes ou de fonctions qui sont toutes, pour chaque point » de T, inférieures en valeur absolue à un nombre donné. Si l'on remplace dans D les éléments 4, d’une ligne à quelconque par ces quantités y,, on sait d’après le n° o que le déterminant nouveau converge dans ce domaine et peut être représenté par la série
Zip Aix
démontrons que cette série converge wniformément en dedans de 7. Puisque le mineur 4,4 s'obtient en remplaçant dans D l'élément 4, par l'unité et les autres éléments de la colonne Æ par zéro, il est clair que dans ce déterminant l'élément diagonal de la ligne k est nul et que, par conséquent, on a, d’après le n° 5,
| Ag | St P. 2 | Qxz |
pour tout point » du domaine 7. Or la série Z, >, formément convergente dans ce domaine, il en sera de même de 2
al étant unidonc la série Z,y,a, est a fortiori uniformément convergente en dedans de 7!.
17. Supposons maintenant qu'il existe une suite de quantités x, qui
DE
uniformément convergente en dedans de 7. Dans ce cas, le déterminant
DE CALE RE œ
rendent la série double
da(e)Se
appartient à la classe étudiée dans le n° 14; tous les développements en série dont il a été question dans le n° 7 sont donc valables à l’intérieur de T' et il est facile de voir, d'après les n® 14 et 15, que ces développements convergent uniformément en dedans de ce domaine.
18. Ni l'on remplace dans D les éléments d’une ligne à? quelconque
°,7 di par des quantités y, telles que les valeurs absolues à | (k = — ©... + ©)
sont toutes plus petites qu'un nombre donné, on sait (n° 14) que le deéterminant ainsi obtenu est représenté par la série Zyya, et que cette série converge pour chaque point 9 de 7. Comme dans le n° 16, on démontre aisément que cette série converge wniformément en dedans de 7.
19. Revenons au cas où la série DD | converge uniformément dans T' et proposons-nous de former la dérivée du déterminant D. Il est clair d'abord que la série double
d A;x e De Dites
est absolument et uniformément convergente à l'intérieur de 7; en effet, DIEU ces propriétés appartiennent à 2,2,4,, elles appartiendront aussi
dax DO DA re : et les à, sont, pour toutes valeurs de » en dedans ou sur
la limite de 7°, inférieurs en valeur absolue à un certain nombre positif,
Ceci posé, je dis qu'à l'intérieur de 7'la série S représente la dérivée de D. En effet, en conservant les mémes notations qu'auparavant, on peut exprimer D par la série
LE 13} an 2 (D, VE LIST
qui converge uniformément dans 7; il suit de là qu'on peut écrire
dD __d 15 HD TAIERE ea do + (oe— do )
et que la série du second membre de cette égalité converge uniformément. Donc, en choisissant arbitrairement une quantité positive 9, on peut déterminer #’ de telle manière que
dD __ dD;| k do do | DE
dès que n > »’ et pour toutes valeurs de » en dedans ou sur la limite de 7. D'un autre côté, en désignant par a% les mineurs du premier ordre du déterminant D,, on a
A DA S A en Au dp En — =" dp ,
28 Helge von Koch.
Posons +n
+ dAy T2 2 dix dp ? DOUCE SE
puisque $ converge uniformément, on peut déterminer #” de sorte que l'inégalité » > n'” entraine celle-ci:
Dr Ar:
pour toute valeur » de 7.
Or on a dD, 3 + Ro dde do. pu ?) æ, 2 2 Fe a) do.
et l’on peut trouver une quantité y telle que les inégalités ax "a al Es u(P TR P,) nd
aient lieu partout à l'intérieur de T. Donc il existe un entier #’”" tel qu'on ait 'dD,
do pour n >#n'" et dès que » se trouve en dedans ou sur la limite de T. Par suite on à
dD |
Res s 0
| do
ou enfin, pour tout le domaine T,
d'A; a SX. ® 0 Sr
en introduisant une notation employée plus haut, cette égalité prend la
forme 0D dAy a - =}, Dre
généralisation d'une formule bien connue de la théorie des déterminants finis.
$ 2. Sur la résolution des systèmes infinis d'équations linéaires. 20. Posons + U,; — > PP (i=—00 .,+ o) k—=— © ee et supposons que le déterminant D — LL PRENre
soit de la forme normale. Proposons-nous de trouver toutes les valeurs des inconnus æ, (£ — — © ..+ ©) qui satisfont aux égalités
et qui ont, de plus, la propriété de ne pas dépasser en valeur absolue chaque nombre fini:
(1°) , | æ | 5 IX (4=— ©,,+ )
Supposons d’abord D + 0. Pour toutes les valeurs des x, qui satisfont à (1'), on a
(2) 241 Aa! x, | <oLr (i=—.,+ œ)
U désignant un nombre positif fini. Donc la série 5 — DE D: () A; converge absolument et l’on peut écrire
Su ns (au
d’où:
30 Helge von Koch.
c'est-a-dire 2 Xy —= O; (kæ=— .,+ ©)
en d’autres termes, le systéme (1, 1”) n'a aucune solution. Donc:
Pour que le système (1, 1’) ait une solution, il faut que le déterminant D soit égal à zéro.
Supposons D = 0. Avant d'examiner ce cas de plus prés, il faut établir quelques propositions préliminaires, ; — M... + m — MN... +m
le produit obtenu en supprimant dans le produit
P= If + Ela,l).
Formons le mineur ( | et désignons par (— m.. + 1m)
les facteurs qui correspondent à à = — 5»..+ m. Dans le développement
— M... +m — MN... + m
se trouve le terme + 1, et aucun terme du développement de celui-la n’est plus grand en valeur absolue que le terme correspondant du développement de celui-ci. Donc on a:
du déterminant ( ) de même que du produit (——- m.. + mm)
— MN... +m £( no
Choisissons arbitrairement une quantité positive 9 plus petite que l'unité;
il existe un entier positif »#’ tel que, pour » > m', le second membre de (4) est plus petit que 0. Pour de telles valeurs de # on aura par conséquent
— mm... +m j|<i+o:
— MM... +m
