MN

— ND... + mn

existe dans la suite

donc le mineur ( ) est certainement différent de zéro et 1l

— MN... +m ( ) (m=0,1,2,..)

un premier mineur qui n'est pas nul.

Il est donc possible de déterminer les indices à, .. 4,; k ..k, en façon

que le mineur ( ; 1 LEE] n

, ) ne soit pas nul; de plus, si 7 > 1, nous sup- 6 | poserons que ces indices soient choisis de manière que les mineurs

t .. co , F. FU \ /

d'ordre inférieur à » et formés en prenant pour &,..4, et x,..x,

respectivement toutes les combinaisons possibles des nombres à ..1 le:

et k,, soient tous égaux à zéro.

Cela posé, si r > 1, tous les mineurs de D d'ordre 1 sont nuls.

En effet, puisque D est nul, l'identité ((9), n° 13) prend la forme

A une à

d’où l’on voit que les mineurs suivants:

: : re s k , et, par suite, le second membre de l'égalité ((e), n° 13):

n 1 e 5 * Tr st DONNE à LE . a) () ë TE: 2 (4 RACE RENE a HAE

y=] 1 n s’évanouissent pour ©, # = — © ..+ ©; donc on a ( RO! (i,#=— 00 ..+ œ) k Des raisonnements analogues suffisent pour démontrer qu'aussi les mineurs d'ordre 2, 3,..7—-1 sont {ous nuls.

Appliquons ces résultats aux probléme que nous avons en vue et sine 4.

“| est quel-

considérons le cas général où l'ordre > du mineur a 1 we r

: ; ‘abord on voit facilement que les équations conque, D

u, = O0, M O0, CNE 20

2 tr

32 Helge von Koch.

sont superflues, c’est-a-dire qu’elles sont une conséquence des autres équations %, — © du système considéré. Soit en effet 4, l’un des indices 4, .. 4,; puisque la série double

Eee M or L D D: ma Va ke kiki k

est absolument convergente, on a:

(A CE] L,+ mt t,4:1 . (A nt) A + 4,3 m t,41 . 4, #2 Un F— va À TV 2 ni A F knsok k RERO . k

"y—1 k, k,4 AC 7. 7

or la série F Ë TUE ME er « “A | LA NT ARE ,» &o..8k,; elle est nulle aussi si À est égal à l’un des nombres #,,k,,..k, puisqu'elle représente, dans ce cas, un certain mineur d'ordre 7» — 1. Donc:

ARR CE MS TI L bero} A NL 4 MC RCELU ESS PAR EE LATE ECC SE

est identiquement nulle si 2Z4,,k

dans cette égalité le coefficient de #; n’est pas nul, mais les coefficients des quantités Woo, LU,

u = O0 (L—1,2,..7r) sera satisfaite si les inconnus remplissent celles

--%, Sont tous nuls Done chaque égalité

des-équationsig, = Otou l'indice ns La série double