VÉ PATR E UP

et désignons, d'une manière générale, par

le mineur de À d'ordre » qui s'obtient en remplaçant dans À chacun des éléments y,,..7.,, par l'unité et tout autre élément des lignes 4 ..c, ou des colonnes x,..x, par zéro.

Dans le cas particulier dont il s’agit, on a (n° 7, (f)):

ë FAR Hour MÉTE CE)

AS 2 Vrac.

L NS x, | Lo % fu

60 Helge von Koch.

les + et les x étant des nombres quelconques dans la suite ©, 1,..0 et » étant au plus égal à /. Donc, pour trouver les indices qui définissent les mineurs caractéristiques correspondant à »,, il suffit d'envisager les [ä Fete) (#, “: k,.| soit différent de zéro pour 9 — p,; soit (0 — p,)* la plus haute puissance de p — p, qui divise tous les mineurs de À d'ordre 1, (0 — p,)* la plus haute puissance de 9 — p, qui divise tous les mineurs de A d'ordre 2, et ainsi de suite. Les nombres y, 4, f, .. pu, seront les nombres ca-

mineurs du déterminant fini A. Supposons que le mineur

ractéristiques correspondant à la racine p,, et il sera toujours possible de ranger les indices 4, ..#, et k, ..k, dans un ordre tel que

Go pe oo EE onS

soient respectivement les plus hautes puissances de 9 — p, qui divisent les mineurs suivants

Donc

td) ( # Ê e à : MT k: kyaEs RUN forment un systéme de mincurs caractéristiques correspondant à la racine p,. Par là la séparation des intégrales en sous-groupes se trouve entiérement effectuée. ; Ajoutons quelques remarques. Les entiers 2, ..1, et #%,..4k, étant certains nombres dans la suite ©, 1,..4, on sait que chaque déterminant de la forme

Han 1 et AE ( y y “y + p Æn

ke HU EE Ne

est identiquement nul si À < o. Ceci posé, les formules (1°), (F”), .. (1) (n° 24) mettent immédiatement en évidence qu'il existe r intégrales linéaire-

ment indépendantes qui, dans le voisinage du point x — 0, se présentent sous la forme

æ(9, +5 9% Fr 42° A : sh

je dis qu'il existe parmi ces intégrales au moins une pour laquelle on a

PRE LEO di Æ ©.

En effet, les indices 2, .. 4, , k, .. k, peuvent étre choisis de la manière suivante, Soit à le plus petit des nombres Oo, 1, ../ tel qu'il existe dans la suite

Lx |

au moins un mineur pour lequel »’ est une racine précisément d'ordre y,;

SOIC

Lx]

Soit ?, le plus petit des nombres o, 1,../ tel qu'il existe dans la suite

le premier mineur dans cette suite qui satisfait à cette condition. -

au moins un mineur pour lequel », est une racine précisément d'ordre y,;

fais,

soit | le premier mineur qui satisfait à cette condition, et con- 1 , |

obtenus par cette méthode, il existe un qui est égal à /; en effet, si ces

tinuons ainsi de proche en proche. Parmi les nombres #,,%,,..4k

nombres étaient tous plus petits que !, le mineur | ne saurait 6, k, être différent de zéro pour p — p,. Soit donc #, — {! (v <r), le mineur fé AE i, | s ; ; ’ Le r| sera le premier dans la suite 1 . y :

Fa LR by d,

LE ae he

62 Helge von Koch.

qui, pour 9 — p,, devient nul précisément d'ordre s,; doné l'intégrale désignée par y,, dans le n° 24 se présentera nécessairement sous la forme

y = aTic, + æ (x), re

et la proposition se trouve démontrée.

Soient

les nombres 4,/f—a,.., rangés par ordre de grandeur décroissante; puisqu'il existe un mineur du premier ordre qui, pour p = p,, ne Sannulle que d'ordre y — 4’, on doit avoir: y, < y — a’; et de même, puisqu'il existe un mineur du deuxième ordre ne s’annullant que d'ordre Han, ton a LT TO RCL AInel UE ABUTLE Or, nous savons que, pour que les intégrales appartenant à la racine y, ne contiennent point de logarithmes, il faut et il suffit que l’on ait

FT =, E—b = —fHh == =];

donc, pour que des logarithmes n’apparaîtront pas, il faut qu'on ait

x — 1, c'est-à-dire a=f—a—=7y—Bf—..—p—À— 15

en d’autres termes, des logarithimes apparaîtront toujours dans certaines intégrales si la fonction &(v) a des racines multiples. Enfin, voyons quelle est la condition pour que les intégrales appartenant à la racine 9, forment un seul sousgroupe. Cette condition est, nous le savons : y, — 0; or il est clair que tous ceux des mineurs ()

dont l'indice k > i > 0, s'évanouissent pour 9 — p.,, puisque, dans chacun

d'eux, l'élément 7,, entre comme facteur; et, parmi les mineurs (: ou

O<k<E, (,) est le seul qui peut être différent de zéro, puisque, dans

tous les autres, l'élément y, entre comme facteur; donc, pour que les

intégrales appartenant à la racine 9 forment un seul sous-groupe, il . 0 È O* ° 0 À ’ faut et il suffit que le mineur (, }; ou, ce qui revient au même, le déter-

minant suivant:

Ho A}:

LES AN à RU ID ASE X10 Xn LUE Fit

soit, pour © — p,, différent de zéro.’

S 4. Sur les invariants des équations différentielles linéaires.

27. Voyons d'abord comment se rattachent les résultats précédents à la théorie ordinaire des équations différentielles linéaires. Soient y,, Ye. Un système fondamental d’intégrales de l'équation (1); si x décrit le chemin Z, ces intégrales subiront une substition linéaire de la forme

Pa Po ° Pin Pa Pa Se Pan

fn Bu: Bu)

et l’équation fondamentale de M. Fucus relative à l'anneau circulaire (RR") prendra la forme

Pa — Pr DT Pin (23) F(w) Pa pe “he Pan

| Pr Po 24 à 15 ne

® Cf. Fucns, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veründertichen

Coefficienten, Journal für Mathematik, t. 68; FRoBENIUS, Über die Integration der linearen Difjerentialgleichungen durch Reihen, mème journal, t. 76.

64 Helge von Koch.

Cherchons la relation entre cette fonction F(œ) et le déterminant D(p) étudié dans le paragraphe précédent. En posant

nel) n(n—1)

Ke eR = CREME TUe

Or, en choisissant pour %,%,..%, le système fondamental obtenu dans le n° 24, on a, d'aprés les formules (19),

(24) Fo) = (w'— ww" — w) (ot — &), d’où (25) F(o) = (— 1)" Ke*D(o).

Cette formule est la relation cherchée; elle fait voir, en particulier, que les égalités Fe”) — o et D(p) — © ont les mêmes racines, ce qu’on aurait pu prévoir.

Le déterminant de la substitution linéaire que subit un système fondamental d'intégrales en faisant parcourir à # le chemin Z est, connne on sait, indépendant du choix de système fondamental; or en choisissant celui obtenu dans le n° 24, le déterminant substitutionnel devient égal au produit

-: 5) D"! “ PAU sl e’ri2P

dont la valeur est 1 (voir formule 16, n° 22) Donc, si x parcourt le chemin Z,n intégrales linéairement indépendantes subiront toujours une substitution linéaire dont le déterminant est égal à l’unité.

Soient Y,%,..4%, les intégrales appartenant à l’un des sous-groupes F,1",..1. I] est facile de voir qu'en remplaçant chaque intégrale 4, par une certaine fonction linéaire homogène et à coefficients constants de

Yi Ya,-:Uns ON obtient un sous-groupe d'intégrales w, , #,, ..u, telles

donc il existe un système fondamental d’intégrales pour lequel les coefficients substitutionnels G, prennent les valeurs

PRO MESU Uts Pa — 0, 8 À <U— TI); Pa ma: P2o TEE 1° ="; Pn fan —=:.. = Bonn = 0;

+1" Fe Pie FR AMAETTT

Vr +lvr FF O;

Ceci posé, on démontre aisément que les diviseurs élémentaires” du déterminant F(w), relatifs au facteur ©’ — w, sont les suivants: (© — w)', (© — w)*, .. (© — w)";

en effet, en désignant par les symboles Ë à | k; 2e k,

les mineurs d'ordre » de F(w) et en introduisant les valeurs (26) des constantes f,, on voit que tous les mineurs du premier ordre sont divi-

Fo)

Les joe #1 à | (@ — w)"

! Cf. HAMBURGER, Bemerkung über die .Form der Integrale der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten, Journal für Mathematik, t. 76. / ? WereRsTRAss, Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen, Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1868. v. Koch. ]