Helge von Koch

mineurs du deuxième ordre sont divisibles par &'— « y, fois au moins, mais que le suivant: |

Ë V; sc I | .: (— o')T(— D) F(o)

LE y LE y, D AE TUE (@o o)1(œ o)”:

est divisible précisément y, fois; et ainsi de suite.

Or on sait que les diviseurs élémentaires du déterminant F(œ) sont absolument indépendants du choix de systéme fondamental d'intégrales. Donc, le système fondamental d’intégrales obtenu dans le 3 se divise en sous-groupes de la manière prévue par la théorie ordinaire.”

28. Par la formule (25) on voit que l'étude de l'équation fondamentale de M. Fucns se ramène à l'étude du déterminant infini D(p). Dans le n° 21 nous avons vu que ce déterminant est une fonction entière de p si les séries P,(x) convergent à l'intérieur d'un anneau circulaire (RR") remplissant la condition (2); et dans le n° 25 nous avons étendu ce théorème au cas général où les P,(x) convergent à l’intérieur d’un anneau circulaire quelconque. Il reste à rechercher maintenant quel est le caractère de la fonction D(o) par rapport aux parametres «,;.

Considérons d’abord le cas. où la condition (2) se trouve satisfaite, et commençons par l'étude du déterminant @(0). Si toutes les racines Pis Per. de g(p») sont incongruentes, nous avons vu (note citée p. 59) que ce déterminant peut étre représenté par la formule

Q(p) = 1 + Z Mr eot (0 — p;)T

où les M, sont certaines constantes qui vérifient la relation

È>M, Fr O. | AT

* Outre la note de M. HAMBURGER, - voir: STICKELBERGER, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen (Akad. Antrittsschrift), Leipzig, Teubner, 1881; CASORATI, Sur la distinction des intégrales en sous-groupes, Comptes rendus des séances de l’académie des sciences de Paris, Janvier 1881.

Considérons maintenant le cas général où p, ,p,,..9, (n' <n) sont les racines incongruentes de &(p); soit s, le nombre des racines de &() congruentes à #); ON aura

Le point 9 — p; étant pour @(o) un pôle d'ordre de multiplicité au plus égal à s,, on pourra écrire, dans un certain voisinage de ce point,

AP) do” \p — p,

Q(p) = B(p — p)) + +Y a, SE - de

donc #(o) se représente par la formule suivante:

, ñn

(27) (0) = 1 + > A, cot (y — D) Tr + > Mg (mcot (o — mr) | où les M, et les AL,, sont certaines combinaisons de certains déterminants infinis. En particulier, on a nécessairement entre les M, la relation suivante:

7) ZW, 0:

Il s'agit d'étudier le caractère de ces constantes par rapport aux para- mèêtres de l'équation différentielle proposée,

Vu que les éléments diagonaux du déterminant (9) sont tous égaux a l'unité, en appliquant la formule (h) (n° 7) à ce déterminant, on aura:

Ge) | Q()=1 FES = 1 +E E 9.

m=2 M= P, Pm ou:

9 hs RE Le é : O 2 vi Pom (2 9) {0m — 2 Lie 5) are Por des, | 1m | dr

Dpnpi CUS Ar O

les indices p, .. p, parcourant tous les entiers qui satisfont aux conditions:

Pi < P: rie VUE

68 Helge von Koch.

Soit, dans le plan des » , B une aire finie ou infinie située entre deux droites verticales et telle qu'aucune des racines des fonctions &(o + m) ne se trouve dans son intérieur ou sur sa limite; la série Z,2, 4, étant uniformément convergente en dedans de B (voir: Sur une application des déterminants infinis etc. p. 57), il en sera de même de la série Q° (n° 15); donc cette série représente une fonction analytique uniforme de p, holomorphe en dedans de tout domaine tel que B. Cette fonction est de plus périodique et de période 1; en effet, en changeant 9 en 6 + 1, (op) devient di,::11(0) de sorte que 9", devient 9%), ,,,, ce quine peut altérer la valeur de 4°. Enfin, pour la fonction périodique 4° , p, est un pôle d'ordre de multiplicité au plus égal à s,. Donc 4°” pourra s'écrire comme une fonction linéaire des fonctions zcot(o — p,)r et des dérivées de ces fonctions jusqu’à celle d'ordre s,, (1 = 1,2,..n"); dans cette expression, le terme constant est nul, puisque, pour des valeurs imdéfiniment croissantes de la partie imaginaire de p, 2°" prend la valeur nulle. Écrivons donc:

n' 8x $ (30) MERE 32 an cot (0 — p;)x + Na 0 mi (x cot (0 — p;)T »|

À=1 pl

n' DM EE ENCM nTe

Le déterminant 49", étant de degré m par rapport aux fonctions dy (GiZk) et ces fonctions étant linéaires et homogènes par rapport aux

paramètres (3 1) Loin 10 As SAT Un G=+1,#9,.)

il est clair que les M” peuvent être exprimés par des séries procédant selon les puissances et les produits de degré » par rapport à ces parametres.

Ces séries sont absolument convergentes et dans celle qui représente M, chaque coefficient peut s'exprimer comme une fonction entière rationnelle de

(32) É TL (1) : — ; TCOË(0) — p3)T TONGS NTI