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dans laquelle les coefficients sont des nombres rationnels.

Afin d'établir ce théorème, démontrons d’abord la proposition auxi-

liaire que voici. Soient f.(0), f2(0),../f,(») k fonctions entières ration-

nelles de » de degré N — 2 au plus dans lesquelles les coefficients sont des entiers; soient F(9), F,(0),.. F,(») k fonctions entieres rationnelles en p de degré N, dans chacune desquelles le coefficient de la plus haute puissance de » est égal à 1, et supposons que ces dernières fonctions ne sannullent que pour certaines valeurs de 9 congruentes aux », ÂA—1,2,..#); soient enfin 9,9:,..q k entiers positifs La série multiple

S DS (2 + P,) fa (0 + Pa) 4 A (0 k # F, (P au Pi) F, (p Es P,) Fi(p +- Px)

Pis Pk

dans laquelle les p, .. p, parcourent tous les entiers remplissant les conditions

FRS ; ; à SUR Py lon. Qy 4 Paca Ju TL, .. pe Ru JO ELA ET PME

sera une fonction périodique de po représentable par une expression de la forme suivante:

SL de K,7 cot (p pu P)) IT + > K,, ap 2 cot (0 FRS P:) T) 9

8, désignant l'ordre de multiplicité du pôle », et K,, une fonction entière rationnelle des quantités (32) dans laquelle les coefficients sont des nombres rationnels.

Cette proposition est évidente dans le cas où # — 1; en effet, S se réduit dans ce cas à une série simple qui converge absolument et uniformément en dedans de B et qui ne change pas de valeur en remplaçant p par p + 1; donc cette série représente une fonction de la forme (33); et comme, de plus, il n'y à qu'un nombre fini de termes de S qui deviennent infinis pour 9 — p,, en développant S selon les puissances entières, positives et négatives, de 9 — p,, les coefficients seront des fonctions entières rationnelles, à coefficients rationnels, de », et de