PA — P
70 Helge von Koch.
Considérons le cas général. Evidemment on pourra écrire
F LE 4 + p) PP) Je(p + Pr) (4) D > ERP > F,(p + P) PE Fi(p + 1) ee
Pi»P2..)x parcourant indépendamment l’un de l’autre tous les entiers positifs se et Æ désignant une expression linéaire et homogene, à coefficients entiers, de certaines séries multiples de la même forme que $ mais d'ordre de multiplicité inférieur à k&. Or le premier terme du second membre de (34) étant le produit de certaines expressions de la forme (33), S + 71 sera aussi une telle expression. Donc, si la pro- = 1,2,.:x— 1, elle subsiste pour # — x; or elle est vraie pour k — 1, donc elle est {owjours vraie.
Arrivons à la démonstration du théorème énoncé plus haut. Rappelons d'abord (n° 7) que la série °° est absolument convergente par rapport aux éléments d,, c’est-à-dire qu'elle reste convergente même en remplaçant, dans le développement de chacun des déterminant 95, chaque terme par sa valeur absolue; on a donc le droit de ranger les termes de 4° dans un ordre quelconque. Écrivons d sous la. forme
+ ho e(p + 1)
(35) fa PER (EE H,(i—D)
o(p +1) AL RE CT ARS
p(p Æ 1) H,(Gi—-h), IL(i—h),.. H,(i—k) désignant certaines fonctions entières rationnelles, :à coefficients entiers, de à — k et de &,, ; ,, @i rs 5. Gi (voir: Sur une application des déterminants infinis etc. p. 56). La série {0 pourra s'écrire comme une série absolument convergente ordonnée selon les puissances et les produits des fonctions 1, (i — k), H,(i—k),.. IH,(i—k); en effet, en désignant par 4, ce que devient d, en remplaçant, dans l'expression du second membre de (35), chaque terme par sa valeur absolue, la série ART sera convergente.
D’après la formule (29), 4°" peut étre regardé comme la somme d'une infinité de termes de la forme
= ) EG Pre Pre, 2 Hart
Pa Po, + + Pay etant une permutation des nombres p,p, .. p, et e désignant,
suivant les cas, + 1 où — 1. Donc 4° peut être regardé comme la somme de termes de la forme |
D IEP) NO: Pébnl ve " gp +p,) g(0 + Pn)
Hi — pa) « « Ha (Pu — Pa.)
Bi :.fBn désignant des nombres dans la suite 2, 3,..9.
Soiént k,,4,..4k, 1 entiers différents de zéro qui vérifient l'égalité
nm
k, A k, Sr. Éd Er k, TK O,
et posons
(36) Di — Pa = k,, DC Di De il
f-.7n désignant une permutation des nombres 1,2,..9%. Îl est clair que l'expression |
(37) Ia(E,) Ha) -« Ho. (h) ne contient que les paramètres suivants (3 8) Li —r , Àko—r » Je À tm G=2,3,..n)
donc l’ensemble de ceux des termes de 9°” qui, outre les & ,,as:,.
d'un certain nombre fini de séries de la forme
ne contiennent que les paramètres (38), s’écrira comme la somme
NS (p Up, Dihie fi (0 +5 D) (0 + D) Pr EN ARR E APS Es ren Lu p(o +p,) g(o + p) o(p Vm)
K désignant l'expression (37) et p, ..p, parcourant toutes les valeurs remplissant. les égalités (36) et la condition
> ee > p Pi < Pa Lee L Pm5
donc, d’après le lemme démontré tout à l’heure, ledit ensemble de termes prendra la forme-(33), dans laquelle X,, désigne une fonction entière rationnelle, à coefficients rationnels, des quantités (32) et des paramètres (31). Donc la proposition se trouve démontrée.
42 Helge von Koch.
