D'après les formules (11) et (28) on a

(39) D(p) = I(9) + E IT(o) 2.

Puisque

np ; ps Moral 21 D Ve re ( D fs) nel MEME EE van (0) PES (: A je de Jo I + TMRÉET ) (a ES Fe SR

en développant [[() suivant les puissances croissantes de p, il est clair que les coefficients de la série ainsi obtenue sont des fonctions entières de

(40) A9 , Az, 3 s'r An,—n)

dans ces fonctions, les coefficients sont des polynômes en 7, dont les coefficients sont des nombres rationnels.

En vertu de l'égalité y, = @(0 + i)dy, la fonction IT (9) s’écrira ainsi:

(4 1) II (0) om) ——= Du IT (2) D

P; .Pm Ÿ Pie. Pm Amir eÉ A pa Pin

D", désignant ce que devient 97”, en remplaçant les d par les y. Or nous savons que la série Z,2;7, est une fonction entière de p; en l’écrivant comme une série ordonnée suivant les puissances croissantes de p, les coefficients dans cette série auront la forme de séries absolument convergentes ordonnées suivant les paramètres a,; de plus, si l’on

écrit la fonction entiere:

IT(p) Pa 1 edge X pm Pi

comme une série 2 ordonnée suivant les puissances de p, les coefficients séront des fonctions entiéres des paramètres (40) telles que, si l'on remplace dans chacune d'elles chaque terme par sa valeur absolue, la série Z restera encore convergente. Done, la série du second membre de (41) s’écrira comme une série ordonnée suivant les puissances

de o dans laquelle chaque coefficient est une série absolument convergente, ordonnée suivant les puissances des paramètres 4,; par rapport à ceux des 4, où ÆZ—4, les termes de ces séries seront de dégré M”, puisque le déterminant D, que les y, (iZk) sont linéaires et homogènes par rapport auxdits paramètres.

est de degré » par rapport aux y, et

Or la série Z,, IL (0) 2" est, par rapport à p, uniformément convergente à l'intérieur de tout domaine fini (cf. n° 15); done D(p) prendra la forme d’une série entière en p dont les coefficients sont des séries absolument convergentes, procédant selon les puissances des paramètres @,.

Je dis que, dans ces séries, chaque coefficient s'exprime comme une fonction entière rationnelle de 7 où les coefficients sont des nombres rationnels. Il suffit évidemment de le démontrer pour le cas où les racines @i, Da, 0, de œ&(p) sont incongruentes; en effet, deux ou plusieurs de ces racines ne seront congruentes que quand les paramètres (40) satisfont à certaines conditions; or, les autres paramètres 4, étant regardés comme des constantes, D(o) sera une série entière toujours convergente par rapport à ceux-la; donc, si la proposition est vraie dans le cas général où ces paramètres ne satisfont à aucunes relations, elle sera toujours vraie.

Les racines p,,/":,..p, étant supposées incongruentes, si l'on écrit Q® comme une série ordonnée selon les paramètres (31), chaque coefficient dans cette série se mettra sous la forme

K(») — Z K,rcot (0 —- pi)T;

K, désignant une fonction entière rationnelle, à coefficients rationnels, des

quantités

(42) T » Pas ———— 7 COt (px — 0;)T; (B=1,.à—1,À 41) PAT ps

il est clair d’ailleurs que ÆX, se change en ÆK, si p, se change en »,. La fonction [L(o) X(p) est une fonction entitre de 9; si on la développe selon les puissances croissantes de 9, chaque coefficient dans ce v. Koch. 10

74 Helge von Koch.

développement sera une fonction entière rationnelle en 7, dont les coefficients seront des fonctions entières rationnelles, à coefficients rationnels, des quantités (42) et de plus, en les considérant comme fonctions de Pis Pose ns SYMétriques par rapport à ces variables. Or nous savons que IL (»)K(p) est une fonction entière de 9 et de p,,p,..9p,; done, en développant cette fonction selon les puissances croissantes de 9, chaque coefficient s'écrira comme une série entière, toujours convergente et symétrique par rapport à 9:,92:,..9,, dans laquelle les coefficients seront entiers et rationnels, à coefficients rationnels, par rapport au nombre 7; chaque série de cette forme peut être exprimée comme une série entière toujours convergente par rapport aux paramètres (40) dans laquelle chacun des coefficients est entier et rationnel, à coefficients rationnels, par rapport à z; donc la démonstration se trouve achevée.

Pour arriver à ce résultat, nous avons supposé la condition (2) satisfaite; il est clair qu’on peut l'étendre immédiatement au cas général en se servant de la méthodé employée dans le n° 25. Donc nous pouvons énoncer ce théoréme:

Si les développements (3) des fonctions P,(x) convergent en dedans d'un anneau circulaire quelconque, le déterminant infini D(p) peut s'écrire comme une série entière toujours convergente de po; chaque coefficient de cette série se représente par une série absolument convergente procédant selon les puissances et les produits des paramètres a,; dans chacune de ces séries, les coefficients sont des polynômes en x dont les coefficients sont des nombres rationnels. |

30. M. Poincaré à donné le nom d’invariants de l'équation (1), relatifs à l'anneau circulaire (RAR), aux coefficients Z, dans le développement du déterminant Fo) de M. Fucus:

(où le terme indépendant de «& est égal à Lunité, d'aprés ce qui a été démontré dans le n° 27). Le problème de représenter analytiquement ces invariants a été résolu, comme on sait, dans des cas assez étendus par