Helge von Koch

La seconde partie du théorème énoncé est une conséquence immé-

diate de cette égalité.

7. Le développement d’un déterminant de la forme normale peut

être présenté sous beaucoup de formes différentes. a) Partons de l'identité

Ai + a Le (A, Er nbt À.) + Ds aE (AS ue A5)

A LÆ CAGE A = Ldihiseses posons An = 0; ARE CUS

Asp — À, — Vort1 Ar — A3 = Vo

dr Anar ge 7477 Ÿ AE FRE Se EU 2r+1 | APR A, Sie r,r À En ne Asie Anse MS “ AS ee PES 1e À,, 41 HE r,7—1 dr

et faisons croître m au delà de toute limite Si D est la valeur du dé-

terminant donné, on aura

(a) ÉD NV AV Et EVA CR

La série du second membre est convergente, puisque À,,,, et À.,, ont la même limite D (n° 3); elle est aussi absolument convergente, ce qu'on voit

en la comparant à la série à termes positifs

(a’) P=U, + (0, — 0) ++ (Mn — Mu) +,

où me ra ne NA +7 +?

M: “a JG +2, laut): I, ee +, 2 1 | |) et en remarquant que (a”) | Ave nt AP | < I, En FR

b) Chaque expression IPN peut s’écrire comme une somme de termes positifs dont aucun n'est plus petit que le terme correspondant du développement de V,. Si donc on écrit, de la manière ordinaire, le déterminant V, comme une somme de | m — M termes et qu'on remplace ensuite chacun de ces termes par sa valeur absolue, la série (a) restera encore convergente. En d’autres termes, si l’on a

M LE Æù ZV a ) la série double (b) c D == )Et ANT

est absolument convergente.

c) On peut conclure de là que le déterminant D peut se mettre sous la forme

(c) D TR > 27 but FRE OUE Se A1 Ne, A4 LR

les termes indiqués par le signe Z s'obtenant en permutant de toutes les manières possibles les premiers (ou seconds) indices du terme principal: